15.9.3. Распределение орбит внутри сферической системы
Если звезды никогда не покидают сферическую систему, то последняя стремится со временем прийти в равновесное состояние. В системе может существовать максвелловское распределение скоростей; тогда звездная плотность начинает описываться изотермической политропой. Звездная система с таким поведением действует как сферическая масса газа, в которой звезды играют роль молекул или атомов. Политропным газовым шарам посвящена огромная литература; в ней подробно описываются решения уравнения Эмдена, дающего связь между давлением, плотностью и кинетической температурой частиц. Плюммер, Цейпель и Эдингтон были в числе тех, кто применил теорию политропных газовых шаров к сферическим системам, подобным шаровым скоплениям. На самом деле это применение способно дать лишь приближенные результаты, поскольку непрерывный уход звезд из системы в конце концов приведет систему к полному распаду.
Здесь возможны различные подходы. В предыдущем разделе мы видели, что в сферически-симметричной звездной системе уравнения (15.88) и (15.89) определяют характеристики звездных орбит, причем в общем случае у орбит существуют расстояния перицентра и апоцентра. Обозначим через 
расстояние апоцентра. Тогда в апоцентре звезда будет иметь скорость 
Следовательно, 
(последнее обозначение относится к нормальному компоненту скорости в апоцентре) будут определять орбиту. Можно вывести также функцию распределения 
для этих элементов орбиты. Например, выражение
будет определять число звезд с расстояниями апоцентров, заключенными в пределах от 
до 
и нормальными скоростями в апоцентре, заключенными в пределах от 
до 
В предположение шварцшильдовского закона распределения скоростей в системе можно показать, что
(15.93)
где шварцшильдовская функция определяется выражением
В этом выражении 
— постоянные параметры, U — гравитационный потенциал, VR — лучевая скорость 
; 
— нормальная к лучевой линейная скорость 
Выполнивший это исследование Эддингтон пришел к уравнению (15.93) для плотности v; это частный случай общего решения, выводимого из теоремы Джинса (см. II, 21).
Путем подобных исследований оказалось возможным показать, что доля круговых и прямолинейных орбит мала и что лишь немногие звезды остаются вблизи центра системы или подходят близко к нему.
