7.6. Методы регуляризации

Важная особенность ньютоновского закона тяготения состоит в том, что сила взаимодействия двух материальных точек становится бесконечно большой при стремлении к нулю расстояния между ними. Разумеется, понятие «точечной массы» является чисто математическим и на практике сингулярные точки никогда не достигаются,

поскольку, прежде чем это произойдет, поверхности взаимодействующих тел соприкоснутся. Однако при численном исследовании понятие точечной массы широко используется, и при этом значение сингулярностей очень сильно возрастает. Кроме того, когда одно тело близко подходит к другому (например, в перицентре сильно эксцентрической орбиты), значительно увеличивается их относительная скорость, а это с необходимостью влечет за собой значительное уменьшение шага интегрирования.

С наибольшей эффективностью многошаговые методы интегрирования используются тогда, когда в процессе численного интегрирования потребность в удваивании и делении шага пополам возникает как можно реже.

Характер сингулярностей, имеющих место при столкновениях, таков, что при соответствующем выборе независимой переменной (этот процесс называется регуляризацией) от них можно избавиться. Задачи, при решении которых используется процедура регуляризации, привлекали внимание многих исследователей. Превосходная библиография работ на эту тему приведена Шебехели [31], который исследовал регуляризацию в ограниченной задаче трех тел. Исчерпывающее обсуждение линеаризации и регуляризации уравнений движения можно найти в книге Штифеля и Шейфеле [29]. Обычно регуляризация сводится к замене физического времени t фиктивным временем s, таким, что Здесь — радиальное расстояние между притягивающими центрами. Если то s эквивалентно эксцентрической аномалии; если то s эквивалентно истинной аномалии. Такой процесс следует называть «аналитической регуляризацией» по Штифелю и Шейфеле.

В работе [28] Штифель использовал значение и линеаризовал уравнения движения задачи двух тел. Сравнив их с обычными уравнениями, он пришел к выводу, что регуляризация позволяет повысить точность вычислений примерно в 30 раз (без существенных потерь скорости). Эта и другие работы, выполненные в последние годы, показали исключительную важность регуляризации для численного решения задач небесной механики.

В работе [10] описана такая процедура регуляризации, где в качестве функции регуляризации времени используется потенциальная или кинетическая энергия. Эта процедура годится для систем двух и более тел. При лобовых столкновениях двух тел такая регуляризация менее полезна, чем регуляризация Кустанхейчо—Штифеля, описанная в [25], зато в более сложных ситуациях она оказывается весьма эффективной. Использование регуляризованных уравнений при интегрировании задачи 25 тел [19] привело к уменьшению времени счета на по сравнению с временем, необходимым для интегрирования нерегуляризованных уравнений.

Кустанхеймо и Штифель предложили метод регуляризации (называемый обычно -преобразованием), в котором трехмерные дифференциальные уравнения движения, например уравнения задачи двух тел

регуляризуются путем преобразования трехмерного вектора в четырехмерный вектор . При этом независимая переменная t переходит в переменную s, так что . Тогда движение в задаче двух тел описывается четырьмя простыми гармоническими линейными дифференциальными уравнениями второго порядка вида

где — постоянная. Штифель и Шейфеле показали возм жность применения KS-преобразования к задачам возмущенного движения, приводящим к различным типам возмущенных уравнений.

Регуляризация особенно важна при высокоточных численных исследованиях систем, состоящих из большого числа тел, между которыми возможны частые сближения, например в звездной динамике. Баз применения регуляризации (или какой-либо другой аналогичной процедуры) каждое сближение тел будет приводить к большим затратам времени счета и к резкому увеличению ошибки округления.