Главная > Движение по орбитам
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

7.6. Методы регуляризации

Важная особенность ньютоновского закона тяготения состоит в том, что сила взаимодействия двух материальных точек становится бесконечно большой при стремлении к нулю расстояния между ними. Разумеется, понятие «точечной массы» является чисто математическим и на практике сингулярные точки никогда не достигаются,

поскольку, прежде чем это произойдет, поверхности взаимодействующих тел соприкоснутся. Однако при численном исследовании понятие точечной массы широко используется, и при этом значение сингулярностей очень сильно возрастает. Кроме того, когда одно тело близко подходит к другому (например, в перицентре сильно эксцентрической орбиты), значительно увеличивается их относительная скорость, а это с необходимостью влечет за собой значительное уменьшение шага интегрирования.

С наибольшей эффективностью многошаговые методы интегрирования используются тогда, когда в процессе численного интегрирования потребность в удваивании и делении шага пополам возникает как можно реже.

Характер сингулярностей, имеющих место при столкновениях, таков, что при соответствующем выборе независимой переменной (этот процесс называется регуляризацией) от них можно избавиться. Задачи, при решении которых используется процедура регуляризации, привлекали внимание многих исследователей. Превосходная библиография работ на эту тему приведена Шебехели [31], который исследовал регуляризацию в ограниченной задаче трех тел. Исчерпывающее обсуждение линеаризации и регуляризации уравнений движения можно найти в книге Штифеля и Шейфеле [29]. Обычно регуляризация сводится к замене физического времени t фиктивным временем s, таким, что Здесь — радиальное расстояние между притягивающими центрами. Если то s эквивалентно эксцентрической аномалии; если то s эквивалентно истинной аномалии. Такой процесс следует называть «аналитической регуляризацией» по Штифелю и Шейфеле.

В работе [28] Штифель использовал значение и линеаризовал уравнения движения задачи двух тел. Сравнив их с обычными уравнениями, он пришел к выводу, что регуляризация позволяет повысить точность вычислений примерно в 30 раз (без существенных потерь скорости). Эта и другие работы, выполненные в последние годы, показали исключительную важность регуляризации для численного решения задач небесной механики.

В работе [10] описана такая процедура регуляризации, где в качестве функции регуляризации времени используется потенциальная или кинетическая энергия. Эта процедура годится для систем двух и более тел. При лобовых столкновениях двух тел такая регуляризация менее полезна, чем регуляризация Кустанхейчо—Штифеля, описанная в [25], зато в более сложных ситуациях она оказывается весьма эффективной. Использование регуляризованных уравнений при интегрировании задачи 25 тел [19] привело к уменьшению времени счета на по сравнению с временем, необходимым для интегрирования нерегуляризованных уравнений.

Кустанхеймо и Штифель предложили метод регуляризации (называемый обычно -преобразованием), в котором трехмерные дифференциальные уравнения движения, например уравнения задачи двух тел

регуляризуются путем преобразования трехмерного вектора в четырехмерный вектор . При этом независимая переменная t переходит в переменную s, так что . Тогда движение в задаче двух тел описывается четырьмя простыми гармоническими линейными дифференциальными уравнениями второго порядка вида

где — постоянная. Штифель и Шейфеле показали возм жность применения KS-преобразования к задачам возмущенного движения, приводящим к различным типам возмущенных уравнений.

Регуляризация особенно важна при высокоточных численных исследованиях систем, состоящих из большого числа тел, между которыми возможны частые сближения, например в звездной динамике. Баз применения регуляризации (или какой-либо другой аналогичной процедуры) каждое сближение тел будет приводить к большим затратам времени счета и к резкому увеличению ошибки округления.

1
Оглавление
email@scask.ru