Ответы к задачам

Глава 2

2.1. 1) 638 морск. миль; 2) 1444 морск. миль.

2.3. 56° 00; 36,7 мин после отлета из Прествика. (Указание: на наибольшей северной широте курс самолета составляет при отсчете от точки севера.)

2.4. . (Указание: видимый путь Солнца по небосводу на фоне звезд — это эклиптика. Одно обращение по эклиптике совершается Солнцем за год; Солнце находится в точке весны у около 21 марта.)

2.5. 1) Прямое восхождение 21, склонение 60 N; 2) долгота ~50°, широта

Рис.

2.6. Прямое восхождение склонение .

2.7. 8 ч пополудни .

2.11. Местное стандартное время равно часовому углу Солнца минус местное время. Следовательно, на диаграмме можно отметить положение точки у и Солнца и тем самым определить эклиптику.

2.12. I) Пункт В имеет координаты января. (Указание: в задачах подобного рода, особенно когда имеет место пересечение международной линии принято использовать гринвичское среднее

время совместно с соответствующей датой; последняя называется гринвичской датой и используется в качестве промежуточной.)

2.14. Поправка часов (месшос время минус показания часов) равна —13,4 с с. Ход часов равен 1,1 с за 24 ч.

2.15. 17 ч 07 мин 29 с. (Указание: получить грннвнчское среднее время GMT наблюдения, затем интервал среднего солнечного времени между этим гринвичским временем декабря. Преобразовать этот интервал в звездное время, чтобы получить гринвичское звездное время наблюдения. После этого использовать значение долготы.)

2.17. 13 ч 44 мин °2 с звездного времени; мин 22 с местного времени; 285° 40 к востоку от точки севера.

Глава 3

3.2. для для Проциона.

3.4. (удаление).

3.7. 1) прямое восхождение склонение прямое восхождение склонение (Указание: никакие расчеты не нужны. Начертите график и нанесите на него положения равноденствий и экваторов.)

3.8. (используйте -значные таблицы логарифмов).

3.10. Топоцентричсское прямое восхождение 32° 55. Топоцентрнческое склонение 32° 56 N. Геоцентрическое прямое восхождение Геоцентрическое склонение (Указание: точно вычерченный график часто бывает полезен для проверки выводов о квадрантах, в которых находятся искомые углы.)

Глава 4

4.2. Отношение (скорость в перигелии), (скорость в афелии) равно 60,16. Соответствующее отношение для угловых скоростей равно 3619.

4.4. Половина расстояния Земли от Солнца. используйте уравнение (4.82) и соотношение

Продшференцнруйте для нахождения максимума после подстановки

4.8. Направление по вертикали; 145 800 км; [Указание: значение угла показывает, что одни участок орбиты не лежит внутри Земли. Вторая орбита характеризуется тем же значением скорости относительно «вертикального» запуска (прямолинейный эллипс).

4.9. Отношение массы Солнца к массе Земли равно 331 700.

4.10. Орбита является эллипсом со следующими элементами: большой земной орбиты; ноябрь 20,72).

Глава 5

5.1. Исследование уравнения (5.2) показывает, что если образует решение задачи то тогда также образует решение, если все интервалы времени умножены

5.2. Сферы с центром в «неподвижном» теле, как показывает уравнение (4.16). Прямолинейный эллипс.

5.3. Приведенная задача тел полностью разрешима и сводится к простым гармоническим движениям. В таком случае для любого радиуса-вектора мы имеем

где — постоянные, (-постоянная тяготения). Отсюда радиус-вектор R, - (от центра масс до массы ) определяется выражением

где А и В — постоянные.

5.4. ; центр масс движется с постоянной скоростью.

Глава 6

6.1. Указание: дает нам Варьируя а и b и используя условие, выраженное соотношением (6.26), получаем, Отсюда имеем

6.2. Искомый эксцентриситет выражается как

6.3. В рассматриваемой задаче возмущающая функция имеет вид

Используйте уравнение для из системы (6.30).

6.4. Если — масса при то где а — малая положительная постоянная. Тогда возмущающая функция R для малых определяется как

Исследуя относящиеся к данной задаче уравнения из системы (6.30), мы видим, что . Остальные четыре уравнения можно сразу проинтегрировать после подстановки в них выражений для и т. д. для получения возмущений первого порядка.

6.5. Указание: требуемое выражение получается путем использования уравнения (6.42), первого уравнения системы (6.41) и соответствующих уравнений задачи двух тел из гл. 4.

Глава 10

10.6. w = 5,28° за сутки; за сутки.

Глава 11

11.1. I) Приращение скорости удвоится, 2) новое приращение равно прежнему плюс .

11.3. (Указание: выражение для R в качестве неизвестного может быть получено методом последовательных приближений.) .

Рис. А.2.

11.5. Отношение времени биэллиптического перехода ко времени единичного перехода равно 5,468.

11.6. Экономия времени перехода составляет года.

11.7. в направлении касательной; в направлении, составляющем угол с радиусом-вектором.

11.8. В восходящем и нисходящем узлах плоскости внутренней орбиты относительно плоскости внешней орбиты. Измененне наклонения может быть произведено во внешней части перехода. Экономия приращения скорости составляет

11.10. 1986 январь 26,8; 1,930 года.

11.11. Примерно Г.

Рис. А.3.

Глава 12

12.2. 88 260 км. (Указание: угловая скорость вращения Луны равна что представляет собой угловую скорость обращения спутника.) Это расстояние больше, чем радиус гравитационной сферы влияния Луны (66 190 км).

12.5. . (Указание: угловая скорость прямой АВ относительно центра масс системы дает нам значение ) из выражения поскольку Приравнивание центробежной силы, действующей на космический зонд, общей силе притяжения дает нам уравнение 5-й степени для неизвестного расстояния; это уравнение можно решить методом последовательных приближений.)

12.6. 21 193 000 км для Юпитера, 9450 км для Марса.

12.8. Период перелета к астероиду, когда тот находится в афелии, равен точно 1 году; отсюда следует, что при возвращении корабля вдоль второй половины орбиты перехода на орбиту Земли корабль снопа встретит Землю. Требуемый гиперболический избыток скорости составляет а. е. год

12.9. Используя уравнения (4.91), (4.88) для уравнения (4.92), (4.97), (4.100) и (4.101) и соответствующие числовые данные из приложений, получаем, что время полета равно стартовая скорости 11.9 км с.

12.10. Пусть периоды для Земли и зонда равны соответственно. Тогда Точно так же = 1 а. е. Отсюда кроме того, Если то орбита зонда не будет круговой. Из рис. А.4 откуда

Рис.

Далее,

Следовательно, эксцентриситет орбиты зонда определяется выражением

Но . Отсюда

Если орбиты зонда и Земли пересекаются в точке тогда . Кроме того,

и, поскольку

Теперь, полагая , из сферического треугольника имеем

что дает

Однако

и

что дает Следовательно, 0 должно быть 1° 1,1 и Подставляя полученные значения в выражения для ? находим, что Ракета запускается с Земли (независимо от либрации), так что максимальное геоцентрическое расстояние достигается примерно через 3 месяца после вывода на орбиту, когда

Рис. А.5.

Зонд возвращается в пределы гравитационной сферы Земли примерно через 6 месяцев после запуска.

Глава 14

14.1. Звездные величины нельзя просто складывать, а значения блеска можно. Если — общий блеск двойной звезды и ее компонентов, тогда

Это дает нам (см. разд. 3.2) соотношение

из которого мы получаем

14.3. Массы компонентов равны 0,878 и 1,201.

14.5. Используйте формулу Доплера для вывода значения орбитальной скорости и отсюда — большой полуоси (в км). Применение (14.2) дает нам сумму масс (2,388 солнечных масс). Теперь из (14.6) получаем параллакс, равный

14.6. Каждый «сигнал» о затмении передается с расстояния, на км больше предыдущего. Указанную разность расстояний свет проходит за 27 с.

14.7. На рис. А.6 показана небесная сфера для спектрально-двойной звезды. Компонент С обращается вокруг центра масс двойной системы (точка G). Требуется найти компонент скорости вдоль луча зрения (т. е. лучевую скорость). Следовательно, где — координаты компонента С. Далее, Из треугольника NBD при помощи формулы синусов находим

Рис. А.6.

Задача двух тел дает нам формулы

Дифференцируя полученное выражение для и используя приведенные выше формулы, мы получаем требуемое соотношение. с применением соотношения в формуле (14.6). Первое приближение для абсолютных звездных величии (при использовании видимых звездных величин) дает Из зависимости масса—светимость (см. рис. 14.4) мы получаем второе приближение для значений масс: 0,851 и что дает Новый шаг вычисления не меняет значения Р даже в последней значащей цифре.

Глава 15

15.1. . (Используйте метод Ньютона для вычисления массы планеты в долях солнечной массы.)

15.4. 5315. Используйте формулы

и

15.5. Указание: возьмите второе уравнение из (15.50) при

15.8. Указание: асимметрия устанавливается, когда сумма равна скорости освобождения Далее,

Для условий убегания мы имеем

Но

что

Для мы получаем

и

Слсдоват елыю,

Подстановка в сумму

приводит к результату