7.5.4. Прямолинейные или почти прямолинейные орбиты
В принципе описанным выше методом можно пользоваться при любых значениях эксцентриситета и наклонения. Однако, когда орбита прямолинейная или почти прямолинейная, эффективность метода падает. Объясняется это тем, что в ряде используемых соотношений, и в частности в уравнении (7.18), величина h стоит 
знаменателе. Поэтому в случае, когда все три компоненты 
становятся меньше некоторого предела, следует, чтобы не терять точность, перейти к другим переменным. В качестве таких новых переменных можно взять полярные координаты 
, для которых справедливы следующие соотношения:
Величины 
— это эклиптические долгота и широта (или прямое восхождение и склонение) соответственно.
Кроме того, имеем
(7.55)
Таким образом, если даны 
, то при помощи (7.54) и (7.55) можно вычислить 
С другой стороны, имеем
Заметим, что знак 
совпадает со знаком 
, а соотношения
позволяют выбрать верное значение 
Кроме того,
и, следовательно, по 
можно найти 
.
Продифференцировав первое уравнение (7.57) и воспользовавшись (7.3), получаем
где
Надо сказать, что 
равно нулю только в случае прямолинейной орбиты.
Снова обозначая индексами k величины, относящиеся к невозмущенной кеплеровской орбите, можно написать
Возмущение величины радиуса-вектора равно 
так что 
Дважды дифференцируя это соотношение, получаем 
и, следовательно,
Дифференцируя второе и третье соотношения (7.57) и обозначая возмущения величин а и Р индексом 
, т. е.
получаем
Здесь индекс k указывает на то, что величины, заключенные в в скобки, соответствуют невозмущенному кеплеровскому движению.
Предположим, что опорная орбита все время является прямолинейной. Тогда в отличие от предыдущего случая (
) ее нельзя получить из оскулирующей орбиты, если только истинная орбита сама не является в точности прямолинейной. Если орбита прямолинейная, то
и
так что уравнения (7.58)-(7.60) принимают вид соответственно
где
Сама процедура вычислений очень похожа на соответствующую процедуру в случае орбиты, отличающейся от прямолинейной. При 
по величинам 
получаем 
и вычисляем правые части уравнений (7.62)-(7.64). Если спрямление опорной орбиты производится в конце каждого шага, то 
так что 
в начале шага. Внутри шага 
, вообще говоря, отклоняется от 
. Теперь для того, чтобы получить значения 
при 
проинтегрируем нашу систему на один шаг.
Чтобы определить 
при 
надо вспомнить, что опорная орбита, все время является в точности прямолинейной. Поэтому 
имеют те же значения, что и при 
. Оставшиеся величины 
в течение шага меняются и могут быть получены из соответствующих соотношений для прямолинейных эллипса, параболы или гиперболы (см. разд. 4.8).
Выбор в качестве опорной орбиты на данном шаге прямолинейных эллипса, параболы или гиперболы зависит от того, будет ли в начале шага энергия
отрицательной, нулевой или положительной величиной.
Значения 
при 
вычисляются по формулам 
при 
находятся из уравнений (7.54) и (7.55).
Теперь можно улучшить опорную орбиту. Если оскулирующая орбита все еще близка к прямолинейной, то в качестве новой опорной траектории опять берется прямолинейная орбита. Ее параметры в начале нового шага задаются следующим образом:
Новое значение энергии
определяет тип новой прямолинейной опорной орбиты (эллипс, парабола или гипербола). Когда момент количества движения h станет достаточно большим, следует использовать метод, разработанный для случая ненулевого к.
