7.5.4. Прямолинейные или почти прямолинейные орбиты

В принципе описанным выше методом можно пользоваться при любых значениях эксцентриситета и наклонения. Однако, когда орбита прямолинейная или почти прямолинейная, эффективность метода падает. Объясняется это тем, что в ряде используемых соотношений, и в частности в уравнении (7.18), величина h стоит знаменателе. Поэтому в случае, когда все три компоненты становятся меньше некоторого предела, следует, чтобы не терять точность, перейти к другим переменным. В качестве таких новых переменных можно взять полярные координаты , для которых справедливы следующие соотношения:

Величины — это эклиптические долгота и широта (или прямое восхождение и склонение) соответственно.

Кроме того, имеем

    (7.55)

Таким образом, если даны , то при помощи (7.54) и (7.55) можно вычислить

С другой стороны, имеем

Заметим, что знак совпадает со знаком , а соотношения

позволяют выбрать верное значение

Кроме того,

и, следовательно, по можно найти .

Продифференцировав первое уравнение (7.57) и воспользовавшись (7.3), получаем

где

Надо сказать, что равно нулю только в случае прямолинейной орбиты.

Снова обозначая индексами k величины, относящиеся к невозмущенной кеплеровской орбите, можно написать

Возмущение величины радиуса-вектора равно так что Дважды дифференцируя это соотношение, получаем и, следовательно,

Дифференцируя второе и третье соотношения (7.57) и обозначая возмущения величин а и Р индексом , т. е.

получаем

Здесь индекс k указывает на то, что величины, заключенные в в скобки, соответствуют невозмущенному кеплеровскому движению.

Предположим, что опорная орбита все время является прямолинейной. Тогда в отличие от предыдущего случая () ее нельзя получить из оскулирующей орбиты, если только истинная орбита сама не является в точности прямолинейной. Если орбита прямолинейная, то

и

так что уравнения (7.58)-(7.60) принимают вид соответственно

где

Сама процедура вычислений очень похожа на соответствующую процедуру в случае орбиты, отличающейся от прямолинейной. При по величинам получаем и вычисляем правые части уравнений (7.62)-(7.64). Если спрямление опорной орбиты производится в конце каждого шага, то так что в начале шага. Внутри шага , вообще говоря, отклоняется от . Теперь для того, чтобы получить значения при проинтегрируем нашу систему на один шаг.

Чтобы определить при надо вспомнить, что опорная орбита, все время является в точности прямолинейной. Поэтому имеют те же значения, что и при . Оставшиеся величины в течение шага меняются и могут быть получены из соответствующих соотношений для прямолинейных эллипса, параболы или гиперболы (см. разд. 4.8).

Выбор в качестве опорной орбиты на данном шаге прямолинейных эллипса, параболы или гиперболы зависит от того, будет ли в начале шага энергия

отрицательной, нулевой или положительной величиной.

Значения при вычисляются по формулам при находятся из уравнений (7.54) и (7.55).

Теперь можно улучшить опорную орбиту. Если оскулирующая орбита все еще близка к прямолинейной, то в качестве новой опорной траектории опять берется прямолинейная орбита. Ее параметры в начале нового шага задаются следующим образом:

Новое значение энергии

определяет тип новой прямолинейной опорной орбиты (эллипс, парабола или гипербола). Когда момент количества движения h станет достаточно большим, следует использовать метод, разработанный для случая ненулевого к.