6.7. Метод вариации параметров

Рассмотрим движение планеты Р с массой по гелиоцентрической орбите (масса Солнца — М), возмущаемой второй планетой с массой Тогда уравнение движения планеты Р в силу (6.3) имеет вид

где — гелиоцентрические радиусы-векторы планет

Уравнение (6.20) можно переписать следующим образом:

где

и

Соответствующее уравнение движения планеты имеет вид

или

где

и

Если в первом приближении правые части уравнений (6.20) и (6.22) положить равными нулю, то мы придем к двум задачам двух тел, которые могут быть решены методами главы 4. В результате будут найдены невозмущенные кеплеровские эллиптические гелиоцентрические орбиты планет, каждая из которых определяется шестью элементами.

Координаты планеты Р можно записать в виде

где справа стоят функции шести элементов и времени (см. разд. 4.12). Компоненты скорости также выражаются в виде функций элементов и времени

Соответствующие функции можно записать и для второй планеты.

При использовании метода вариации параметров (в данном случае параметрами являются элементы орбиты) выражения для координат дифференцируются (теперь элементы рассматриваются как переменные) и снова подставляются в уравнения (6.20) и (6.22), так как вариации элементов обусловлены ненулевыми правыми частями этих уравнений (которыми до сих пор пренебрегали). В результате для элементов орбиты получается три дифференциальных уравнения вида

где — один из шести элементов.

Запишем уже решенные (невозмущенные) уравнения в виде

Здесь знак частного дифференцирования указывает на то, что при решении этих уравнений элементы считаются постоянными. В результате решения уравнений получаются оскулирующие орбиты двух планет.

В любой момент времени можно считать, что

т. е. действительные векторы скоростей в момент времени t можно получить дифференцированием эллиптических формул, в которых мгновенные значения элементов полагаются постоянными (на это и указывают знаки частного дифференцирования).

Таким образом, из (6.24) получаем

Два аналогичных уравнения имеют место для . Уравнения вида (6.27) дают нам для каждой планеты по три функциональных соотношения.

Продифференцировав уравнение для иксовой компоненты системы (6.26), получаем

Но в силу (6.26)

и, следовательно,

Из уравнений (6.21) и (6.25) имеем

и

Следовательно, можно написать

Для имеют место два аналогичных уравнения.

Затем шесть уравнений (6.27) и (6.28) преобразуются таким образом, чтобы получилось шесть дифференциальных уравнений первого порядка для скоростей изменения элементов. Такое преобразование впервые было выполнено Лагранжем. Полученные в результате уравнения имеют вид

где

Эти уравнения представляют собой одну из форм планетных уравнений Лагранжа. Очевидно, соответствующая система уравнений имеет место и для планеты с массой

Следует отметить, что полученные уравнения являются точными. Первоначально они были выведены для случая, когда возмущением является притяжение второй планеты, но уравнения будут справедливы и тогда, когда функция R обусловлена рядом других причин. Такими возмущающими факторами могут быть форма планеты, ее внутреннее распределение масс, влияющее на близкий спутник, или сила сопротивления атмосферы. Разумеется, аналитическая форма R зависит от природы действующей силы.

Следующим этапом преобразования системы уравнений является замена элементов на . Здесь , если речь идет о планете, обозначает долготу перигелия (см. разд. 2.6), а величина называется средней долготой в эпоху и определяется следующим образом.

Истинная долгота планеты L, измеряемая от Y до направления на восходящий узел N вдоль дуги большого круга, образованного пересечением плоскости орбиты с небесной сферой, равна

где — истинная аномалия.

Средняя долгота планеты задается формулой

где М — средняя аномалия, а , как и прежде, — среднее движение. Тогда определяется из соотношения

Таким образом, представляет собой среднюю долготу планеты при

Возмущающая функция R, которая первоначально выражалась через элементы , х обеих планет, теперь преобразуется в функцию элементов , где , так как Тогда

Подставляя эти выражения в систему (6.29), получаем

Здесь индекс 1 опущен.

Заметим, что если или i очень малы, то уравнения становятся малопригодными, поскольку в их правых частях в знаменателе встречаются малые величины

Однако если ввести в рассмотрение величины

то их можно использовать для того, чтобы в системе (6.30) уравнения для заменить уравнениями для