11.4.4. Точность проведенного анализа и влияние ошибок

В предыдущих разделах мы пренебрегали областью вокруг меньшего из двух тел, в которой оба силовых поля сравнимы по напряженности. Рассмотрим теперь этот вопрос более подробно, для чего воспользуемся понятием сферы влияния. Формулы

определяют две сферы влияния вокруг спутника основного тела (планеты по отношению к Солнцу или Луны по отношению к планете). Здесь — масса спутника в единицах массы основного тела; чтобы определить величины радиусов сфер d вокруг спутника в единицах расстояния между спутником и основным телом, надо задать значения . Последние две величины представляют собой соответственно отношение возмущающего ускорения аппарата, обусловленное влиянием спутника, к ускорению аппарата, вызванному действием центральной силы со стороны основного тела, и отношение возмущающего ускорения аппарата из-за притяжения основного тела к ускорению, вызванному центральной силой со стороны спутника.

Если равны 0,1, то это соответствует слабому возмущению орбиты; фактически оно даже несколько меньше возмущения от Солнца на орбиты наиболее удаленных спутников Юпитера. Значение 0,01 соответствует очень слабому возмущению, в особенности если аппарат находится в возмущенной области

Рис. 11.13.

[т. е. в щели между двумя сферами влияния, определяемыми соотношениями (11.93), (11.94)] короткое время. Таким образом, в общем случае, если мы хотим получить результат с большой точностью, то движение аппарата вне щели между двумя сферами влияния нужно рассматривать в рамках задачи двух тел, а внутри щели применять более строгие методы.

На рис. 11.13 представлены зависимости от d и (значения увеличиваются слева направо, — наоборот).

Интересен тот факт, что для планет земной группы (Меркурия, Венеры, Земли, Марса и Плутона) при больше 0,1 никакой щели между сферами влияния вокруг этих тел нет. А это означает, что если аппарат не будет длительное время находиться вблизи границы сферы влияния (условие, обычно реализуемое на практике), то применение формул задачи двух тел обеспечивает достаточную точность.

На рис. 11.13 также приведены зависимости от d для системы Земля—Луна, из которых можно получить толщину

щели вокруг Луны, где Земля играет роль возмущающего тела. Кроме того, на рисунке изображены зависимости, относящиеся к наиболее массивному астероиду Церере [диаметр ~770 км, масса ~1/(2,46 х 10^9) массы Солнца], откуда видно, что если одновременно больше 0,018, то щели нет (этот вывод справедлив для всех астероидов).

Чтобы вычислить точную орбиту на участке пересечения щели, можно воспользоваться либо методом Энке, либо методом Коуэлла. Примерно на полпути при движении сквозь щель [на границе сферы влияния, задаваемой формулой (6.10)] гелиоцентрические компоненты положения х, у, z и скорости х, у, z аппарата путем простой замены осей преобразуются в планетоцентрические компоненты положения х, у, z и скорости х, у, z. При этом необходимо знать гелиоцентрические координаты и компоненты скорости планеты в этот момент времени. Такая задача во многом напоминает задачу из разд. 2.9.2, где осуществлялся переход от гелиоцентрических экваториальных прямоугольных координат к геоцентрическим экваториальным прямоугольным координатам. Соотношения между компонентами положения и скорости и элементами орбиты были приведены в разд. 4.12.

С момента входа аппарата во внутреннюю сферу влияния планеты и до тех пор, пока он ее не покинет, орбиту можно считать невозмущенной планетоцентрической.

Ошибки в импульсе, переводящем аппарат на гиперболическую орбиту ухода, имеют далеко идущие последствия. Во-первых, ошибки приведут к тому, что положение и скорость аппарата в момент выхода из эффективного гравитационного поля планеты будут немного отличаться от запланированных на этот момент времени положения и скорости. В свою очередь эта планетоцентрическая ошибка приведет к тому, что изменится точка входа гелиоцентрической орбиты перехода в сферу влияния планеты-цели и изменится соответствующая скорость аппарата. В результате изменится гиперболическая орбита захвата, так что для осуществления захвата потребуется другое количество энергии.

В разделе 11.3.6 был проведен элементарный анализ влияния ошибок импульса на элементы орбиты перехода в поле одного притягивающего центра. Точно так же можно выразить ошибки гиперболической орбиты освобождения (см. разд. 11.4.1) через ошибки импульса, прикладываемого на исходной круговой орбите. Воспользовавшись соотношениями (11.86)-(11.92), можно определить ошибки , а затем, применяя соответствующие Уравнения задачи двух тел, можно получить ошибки элементов гелиоцентрической орбиты перехода и т. д.

Как и следовало ожидать, уравнения в этом случае оказываются значительно сложнее, чем в случае поля одного притягивающего

центра. Но самое неприятное состоит в том, что орбиты перехода от одной планеты к другой получаются настолько чувствительными к ошибкам, что при осуществлении пилотируемого или автоматического полета обязательно должна предусматриваться возможность корректировки орбиты аппарата. Таким образом, либо на аппарате, либо на Земле мы должны иметь соответствующие навигационные приборы.

Рис. 11.14.

Еще одним эффектом, остававшимся до сих пор в тени, является фокусирующее действие гравитационного поля планеты-цели. Для того чтобы достигнуть планеты-цели, орбита зонда совсем не обязательно должна пересекать планету. Нужно лишь, чтобы перицентр гиперболической орбиты сближения касался поверхности планеты (рис. 11.14). Столкновение будет иметь место, если расстояние между асимптотой гиперболической орбиты и центром планеты меньше ОА. Если R — радиус планеты, то для «радиуса столкновения» ОА справедлива формула

или

где , а V, как и раньше, — гиперболический избыток скорости. Тогда

Таким образом, эффективный радиус столкновения может быть намного больше истинного радиуса тела. В особенности это относится к планетам-гигантам Юпитеру и Сатурну.