5.10. Ограниченная круговая задача трех тел

Пытаясь разобраться в возможных типах движения в задаче трех тел, Пуанкаре, Хилл и другие ученые многие свои исследования посвятили так называемой ограниченной круговой задаче трех тел. В этой задаче два массивных тела движутся по окружностям вокруг общего центра масс и притягивают (но сами не притягиваются) третье тело бесконечно малой массы. Орбиты и массы двух массивных тел известны, и задача состоит в том, чтобы определить возможные движения третьего тела, если в некоторый момент времени заданы его координаты и скорость.

Таким образом, общая задача трех тел, описываемая девятью дифференциальными уравнениями второго порядка, сводится к трем дифференциальным уравнениям второго порядка, т. е. порядок системы понижается от 18 до 6. Если задачу ограничить еще больше, потребовав, чтобы третье тело двигалось в плоскости орбит двух массивных тел, то останется только два уравнения второго порядка, так что система будет иметь четвертый порядок. Такой частный случай называется плоской ограниченной круговой задачей трех тел. Из приведенных выше рассуждений становится понятным, почему пространственной и плоской ограниченной круговой задаче трех тел было посвящено большое число аналитических и численных исследований, хотя при такой постановке задачи мы волей-неволей лишаем себя возможности использовать десять известных интегралов движения. Однако при этом можно найти новый интеграл (впервые полученный Якоби), который будет полезен при исследовании поведения малой частицы.

5.10.1. Интеграл Якоби

Пусть единица массы выбрана такой, что сумма масс двух массивных тел равна единице. При этом массы тел будут где . Единицу длины выберем равной постоянному расстоянию между двумя массивными телами, а единицу времени введем так, чтобы гравитационная постоянная G также равнялась единице.

В силу (4.74) средняя угловая скорость (среднее движение) двух тел удовлетворяет соотношению

Видно, что при указанном выборе единиц угловая скорость двух тел конечной массы также равна единице.

Рассмотрим систему координат с началом в центре масс двух тел и невращающимися осями . Пусть — координаты тел с массами — координаты

малой частицы. Тогда уравнения движения малой частицы имеют вид

где

и

Если ось перпендикулярна плоскости вращения двух массивных тел, то

Рис. 5.3.

Введем оси х, у, с тем же началом, что и оси , и пусть оси х и у вращаются с единичной угловой скоростью вокруг оси , совпадающей с осью (она перпендикулярна плоскости рис. 5.3). Направление оси х можно выбрать так, чтобы два массивных тела всегда лежали на ней. При этом их координаты будут , так что

Кроме того, при таком выборе единиц

Следовательно,

и

Здесь — координаты бесконечно малой частицы относительно вращающейся системы координат. Они связаны со старыми координатами соотношениями

Для координат двух тел конечной массы справедливы аналогичные уравнения.

Дважды дифференцируя (5.39) и подставляя результат в (5.38), получаем

Умножим первое уравнение (5.40) на второе на и сложим результаты. Затем умножим первое уравнение (5.40) на второе на и снова сложим результаты. Тогда мы получим два уравнения, которые вместе с третьим уравнением (5.40) образуют систему

Уравнения (5.41), в которые явно не входит независимая переменная t, являются уравнениями движения бесконечно малой частицы относительно вращающейся системы координат.

Введем функцию U следующим образом:

Тогда, как легко показать, систему (5.41) можно переписать в виде

Если умножить (5.42) на х, (5.43) на у, а (5.44) на z и результаты сложить, то получим

а это есть полный дифференциал, так как U является функцией только х, у, z.

Интегрируя, получаем

Здесь С — постоянная интегрирования.

В левой части уравнения стоит квадрат скорости частицы бесконечно малой массы относительно вращающейся системы координат. Обозначив его , получаем

или

Это интеграл Якоби, называемый иногда интегралом относительной энергии. Интеграл Якоби является единственным интегралом, который можно получить в ограниченной круговой задаче трех тел.

Разумеется, этот интеграл можно выразить также через координаты и компоненты скорости в невращающейся системе координат. Тогда он имеет вид