2.9.2. Примеры преобразований систем координат

Пример 1. Вычислим на геоцентрической небесной сфере часовой угол Н и склонение тела, имеющего азимут (измеряемый в восточном направлении от точки севера) А и высоту а. При этом будем считать, что широта наблюдателя равна

На рис. 2.11 показана соответствующая небесная сфера, на которой X обозначает положение тела, а остальные символы имеют обычные значения.

Теорема косинусов, примененная к сферическому треугольнику PZX, дает

Отсюда можно вычислить . Воспользовавшись теоремой косинусов еще раз, получаем

или

откуда находим Н, так как б уже известно.

С другой стороны, используя формулу, связывающую четыре величины (90° — а), (360° — А), и H, получаем

или

Пример 2. Считая, что наклонение эклиптики равно преобразуем эклиптические координаты (небесную долготу К и небесную широту Р) космического аппарата в геоцентрические экваториальные координаты (прямое восхождение а и склонение ).

Как показано на рис. 2.12, в сферическом треугольнике КРХ (X — положение космического аппарата на небесной сфере) содержится вся необходимая информация.

Рис. 2.11

Воспользовавшись по очереди теоремой косинусов, теоремой синусов и аналогом теоремы косинусов, получаем

откуда можно найти а и б.

Читателю предлагается в качестве упражнения провести преобразования, обратные рассмотренным в примерах 1 и 2.

Пример 3. По известным гелиоцентрическим прямоугольным координатам космического аппарата, обращающегося вокруг Солнца, определим его геоцентрическое расстояние , прямое восхождение а и склонение .

На этом примере будет проиллюстрирован ряд важных принципов. Для наблюдения аппарата с Земли или связи с ним в заданный момент времени нужно знать геоцентрические прямое восхождение, склонение и удаление аппарата. С другой стороны, межпланетный

планетный космический аппарат движется по орбите вокруг Солнца, а элементы такой орбиты определяются в гелиоцентрической системе. Зная элементы и время, можно определить прямоугольные координаты в системе с началом в центре Солнца. Ниже мы увидим, как это делается (см. гл. 4). В настоящем примере мы будем предполагать, что основой прямоугольной системы координат служат эклиптика и направление на Т. и покажем, как эти прямоугольные координаты можно преобразовать в геоцентрическое расстояние, прямое восхождение и склонение. В астрономии такое преобразование является стандартной процедурой. Обратная задача определения элементов орбиты по измерениям прямого восхождения и склонения тела также является стандартной процедурой.

Однако она сложнее и будет рассмотрена позже.

Рис. 2.12.

Задача решается в несколько этапов:

1) осуществляется переход от гелиоцентрической эклиптической прямоугольной системы координат к гелиоцентрической экваториальной прямоугольной системе;

2) от гелиоцентрической экваториальной прямоугольной системы переходим к геоцентрической экваториальной прямоугольной системе;

3) геоцентрические экваториальные прямоугольные координаты преобразуем в геоцентрическое расстояние, прямое восхождение и склонение.

Эти преобразования проводятся следующим образом:

1) На рис. 2.13 V обозначает положение аппарата относительно Солнца S. Относительно осей (образующих прямоугольную систему) аппарат имеет координаты так, что справедливо соотношение

SA (А — перигелий) пересекается со сферой в точке , а SV — в точке Q. Тогда имеем

В силу теоремы косинусов, примененной к сферическому треугольнику QTN, в котором угол равен 180° — i, получаем

Однако

следовательно,

Рис. 2.13.

Аналогично, применяя теорему косинусов к треугольнику QNB и вспоминая, что

получаем

Наконец, применение теоремы косинусов к треугольнику QKN дает

Чтобы перейти к гелиоцентрическим экваториальным прямоугольным координатам, заметим, что новые оси ST, SC и SP обладают следующими свойствами: ось SC лежит в экваториальной плоскости под углом 90° к ST, а ось SP перпендикулярна этой плоскости и направлена так, что три оси образуют правую тройку. Тогда новые оси SC и SP получаются из старых осей SB и SK поворотом последних вокруг на угол . Если гелиоцентрические

экваториальные прямоугольные координаты аппарата обозначить , то

Используя уравнения (2.4), (2.5) и (2.6), получаем

Введем ряд вспомогательных углов так, чтобы они удовлетворяли соотношениям

Тогда уравнения (2.7), (2.8) и (2.9) принимают вид

Этими формулами удобно пользоваться, если нужно вычислять прямоугольные координаты аппарата в нескольких положениях. Вспомогательные величины a, A, D, В, с, С являются функциями только элементов ; поэтому их можно вычислить один раз для всех положений. Переменные же и f должны вычисляться для каждого положения (способ их вычисления будет описан позднее — см. гл. 4). Следует, однако, заметить, что являются постоянными только в том случае, когда на аппарат не действуют никакие возмущения. Фактически такая ситуация наблюдается в большинстве межпланетных полетов на пассивных участках траектории.

2) Теперь начало координат переносится из центра Солнца в центр Земли. На рис. 2.14 Е — Земля, S — Солнце, и SP — оси гелиоцентрической экваториальной системы координат,

и — оси геоцентрической экваториальной прямоугольной системы координат, плоскость — плоскость земного экватора. Пусть координаты аппарата V относительно геоцентрических осей, так что

— гелиоцентрические экваториальные координаты Земли. Тогда

Рис. 2.14.

Если через (X, Y, Z) обозначить геоцентрические экваториальные координаты Солнца, то

так как

Координаты Солнца (X, Y, Z) затабулированы в «Астрономических эфемеридах» и других ежегодниках. С другой стороны, получаются по элементам орбиты Земли, причем, поскольку орбита лежит в плоскости эклиптики, ее наклонение равно пулю. Обозначим эти элементы — долгота перигелия орбиты Земли). Тогда из (2.10) получаем

Рис. 2.15.

Входящие сюда значения радиуса-вектора и истинной аномалии могут быть вычислены для любого момента времени 1.

3) На рис. 2.15 изображена геоцентрическая небесная сфера меридиан , проведенный через проекцию на небесной сфере V точки V (геоцентрического положения аппарата).

Тогда

т. е.

Аналогично

и

Применяя к сферическому треугольнику TVH (имеющему при вершине Н прямой угол) теорему косинусов, получаем три соотношения:

после чего, воспользовавшись уравнениями (2.10), (2.12) и (2.14), находим

Мы видели, что если элементы орбиты аппарата известны, то правые части уравнений (2.15), (2.16) и (2.17) могут быть вычислены для любого момента времени, поскольку значения X, Y и Z известны (они содержатся в «Астрономических эфемеридах»). Таким образом, находим

откуда можно получить а.

Точно так же из выражения

определяется , а равно квадратному корню из суммы квадратов правых частей уравнений (2.15), (2.16) и (2.17).