13.4. Метод Гаусса
В другом основном методе определения орбит (разработанном Гауссом) берутся три положения и интервалы времени между этими положениями; при этом также используется второй закои Кеплера о постоянстве секториальной скорости, которому должен удовлетворять объект, движущийся по гелиоцентрической орбите (в пренебрежении возмущениями), а также тот факт, что объект движется в плоскости, проходящей через центр Солнца. В этом разделе мы дадим лишь краткий очерк метода.
Уравнение плоскости, проходящей через начало системы прямоугольных координат, таково:
(13.24)
злесь А, В, С — постоянные.
Если три наблюдаемых положения описываются гелиоцентрическими экваториальными координатами 
тогда имеем три уравнения вида
Исключая постоянные А, В и С, находим
(13.25)
Это уравнение в виде детерминанта можно переписать в трех формах:
(13.26)
Величины в скобках представляют собой проекции на три координатных плоскости удвоенных площадей треугольников, образованных Солнцем и (тремя) положениями тела, взятыми попарно. Если обозначить через 
площадь треугольника, вершины которого определяются Солнцем и двумя положениями тела в моменты 
, то тогда, замечая, что в каждом уравнении проектируется одна и та же плоскость [например, плоскость 
в первом из уравнений (13.26)], можно записать
(13.27)
Эти уравнения переписываются в форме
(13.28)
где
Из треугольника ESV
(13.29)
так что
(13.30)
Если найдены 
(так называемые «отношения треугольников»), то тогда система (13.30) оказывается системой трех линейно независимых уравнений для неизвестных геоцентрических расстояний, поскольку R известно из таблиц геоцентрических координат Солнца:
Отношения треугольников 
и 
разлагаются в степенные ряды по интервалам времени 
. Чтобы сделать это, можно использовать ряды для 
и g из разд. 4.12. Полагая
и отбрасывая все степени, большие 
находим
Если составить скалярное произведение (13.30) на выражение
и подставить выражения для 
из (13.31) в результирующее выражение, то получим решение для 
в форме
В этом уравнении два неизвестных 
поскольку А и В являются функциями затабулированных и наблюдаемых значений величин. Чтобы найти 
поступим как в методе Лапласа и используем уравнение (13.9), записанное в виде
в качестве второго уравнения для 
Вычислив 
, и 
по уравнению (13.30) найдем 
после этого из (13.29) находим 
Элементы орбиты можно получить обычным способом из 
здесь 
, вычисляется численным способом из 
Сам Гаусс избрал несколько иной путь. Положения тела 
определяют плоскость его орбиты. Оставшиеся элементы получаются из двух уравнений, в которые входят два неизвестных. Гаусс вывел одно уравнение из отношения площади треугольника, определяемого радиусами-векторами 
к площади сектора, определяемого 
и дугой орбиты тела, заключенной между этими точками. Второе уравнение он нашел путем применения уравнения Кеплера для моментов 
Несомненно, метод Гаусса более сложен, чем метод Лапласа, хотя в последующем исследователи разработали приемы, исключающие значительное число трудностей, характерных для метода Гаусса.
