4.5.5. Решение уравнения Кеплера

В некоторых астрономических и астродинамических приложе нкях по заданной эксцентрической аномалии и известному эксцентриситету орбиты требуется определить среднюю аномалию М. В этих случаях М без всяких затруднений определяется из уравнения Кеплера (4.60). Однако значительно чаще бывают известны М и и требуется найти соответствующее значение . Для решения этой задачи используются различные методы последовательных приближений. Разработкой таких методов решения уравнения Кеплера занимались многие математики и астрономы, в том числе и сам Кеплер.

Обычный метод решения состоит в получении приближенного значения , почти удовлетворяющего уравнению (4.60), с использованием таблиц или графиков [1, 2, 6]. Если эксцентриситет меньше 0,1, то в качестве хорошего начального приближения (обозначим его ) можно взять в других случаях необходимо воспользоваться таблицами или графиками. Пусть мы имеем начальное значение тогда истинное значение может быть представлено в виде

где мало по сравнению с

Подставляя в (4.60), получаем

Раскладывая в ряд и оставляя члены только нулевого и первого порядка по находим

или

Таким образом, получаем представляющее собой более точное значение Е, и вся процедура повторяется до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность.

Другой метод строится по следующей схеме; переписываем уравнение Кеплера в виде

выбираем, как и раньше, начальное приближение а затем вычисляем

Пример. Известно, что для орбиты Юпитера лет, . Вычислить с точностью 10" величину эксцентрической аномалии Юпитера через пять лет после прохождения им перигелия.

Поскольку мы хотим, чтобы средняя аномалия М выражалась в градусах, a выражено в годах, то нужно, чтобы среднее движение выражалось в градусах в год.

Так как М увеличивается на 360° за Т лет, то среднее движение равно так что

По величине должно быть того же порядка, что и М (т. е. ). Поэтому, чтобы получить в градусах с точностью до нужно знать пять значащих цифр. Если в нашем распоряжении нет электронного калькулятора, то необходимо воспользоваться шестизначными логарифмическими таблицами.

Первое приближение. Поскольку мало, можно положить

Второе приближение. Прежде чем воспользоваться уравнением Кеплера в виде

переведем М из градусов в радианы при помощи соотношения

Тогда получаем

В нашем примере , следовательно,

или

Третье приближение. Имеем

откуда

т. е.

Четвертое приближение. Находим значение

которое и является решением задачи.