Глава 7. Специальные возмущения

7.1. Введение

Теория общих возмущений применима при решении далеко не всех задач орбитального движения. Однако в таких случаях всегда можно использовать специальные возмущения, т. е. методы численного интегрирования уравнений движения в той или иной форме. Имея в качестве исходной информации координаты и скорости тел в заданный момент времени, можно с помощью одного из таких методов вычислить из уравнений движения новые координаты и скорости, которые будут характеризовать систему тел спустя малый интервал времени. При этом удается учесть влияние всех действующих на тела сил. Полученные значения координат и скоростей, позволяют выполнить новые вычисления для последующего интервала времени и т. д. Каждый цикл вычислении называется шагом. Теоретически численное интегрирование можно выполнять на сколь угодно большом интервале времени. На практике же при реализации любого численного процесса возникают так называемые ошибки округления. Поскольку все вычисления выполняются с определенным числом значащих цифр, математику или вычислительной машине приходится постоянно оперировать с округленными величинами, что неизбежно порождает ошибки.

При этом, вообще говоря, ошибки имеют тенденцию накапливаться. Чем больше требуется шагов, тем больше ошибка. Таким образом, к концу вычислений ошибка может возрасти в несколько тысяч раз, т. е. неверными могут оказаться до четырех последних цифр.

Очевидно, один из способов борьбы с такой ошибкой заключается в том, что вычисления выполняются с большим, чем это нужно в окончательном результате, числом значащих цифр. Тогда ошибка округления, накопленная к концу вычислений, не повлияет на те цифры, которые должны быть точными. Другой способ состоит в том, что интервал времени берется по возможности максимальным, благодаря чему число шагов сводится к минимуму. Однако эти способы не позволяют полностью исключить ошибку округления. В первом случае может потребоваться выполнять интегрирование на таком большом промежутке времени, что число необходимых десятичных знаков будет слишком

велико даже для вычислительной машины. Во втором случае шаг всегда должен быть меньше определенной величины, характерной для используемого метода численного интегрирования.

В важной работе Брауэра [3] показано, что при двукратном интегрировании вероятная ошибка равна , где — число шагов (величина ошибки выражена в единицах, соответствующих последней значащей цифре). Так, например, после 100 шагов численного интегрирования уравнений второго порядка, описывающих движение спутника, мы с вероятностью 50% можем ожидать, что ошибка округления будет меньше 112,4. В этой работе также показано, что средние ошибки оскулирующих элементов орбиты, полученных численным интегрированием уравнений движения планет в форме Лагранжа (уравнений первого порядка) или при помощи обычных формул по компонентам , будут пропорциональны Исключением является средняя орбитальная долгота, для которой средняя ошибка опять-таки пропорциональна Правда, следует заметить, что она получается в результате двукратного интегрирования.