4.10. Классификация орбит по величине константы энергии

При исследовании движения одной частицы относительно другой было получено уравнение сохранения энергии (4.16)

    (4.110)

где

Если — скорости относительно центра масс (центр масс покоится), то полная энергия Е системы задается формулой

где сумма первых двух членов — это кинетическая энергия, а — потенциальная энергия системы.

На основании результатов, полученных в предыдущих разделах, имеем

Аналогично

Таким образом, воспользовавшись уравнением (4.110), получаем

В астродинамике, когда — масса космического аппарата, а — масса планеты много большая чем можно написать

где

Таким образом, С представляет собой полную энергию космического аппарата на единицу массы ( — это кинетическая энергия, а - потенциальная энергия на единицу массы). В результате орбиту можно классифицировать как эллипс, параболу или гиперболу в зависимости от значения С для космического аппарата. В астродинамике, где часто возникает задача определения энергии, необходимой для того, чтобы покинуть круговую орбиту вокруг планеты и достигнуть скорости освобождения, т. е. превратить планетоцентрическую орбиту в параболу или гиперболу, такая классификация является очень удобной. Ясно, что величина скорости V на данном расстоянии — это решающий фактор, от которого зависит форма орбиты. Имеем

1) для эллипса , следовательно,

2) для параболы следовательно,

3) для гиперболы следовательно,

Итак, для замкнутой орбиты полная энергия (кинетическая плюс потенциальная) должна быть отрицательной; для освобождения тела его скорость должна увеличиться до значения, при котором полная энергия равна нулю; если энергия больше нуля, то освобождение происходит по гиперболе. В частности, чтобы тело, находящееся на круговой орбите, где покинуло орбиту, его скорость должна возрасти в раз.