5.8. Лагранжевы решения задачи трех тел
Возможны случаи, когда форма геометрической фигуры, образованной тремя телами, остается неизменной, хотя ее размеры при этом могут меняться, а вся фигура в целом может вращаться. В одном таком случае три тела располагаются в вершинах равностороннего треугольника, в другом — на одной прямой. В 1772 г. Лагранж показал, что такие решения может иметь система трех тел произвольной массы, если выполнены следующие условия:
1) направление суммарной силы, действующей на каждое из тел, проходит через центр масс системы;
2) эта сила прямо пропорциональна расстоянию тела от центра масс;
3) начальные скорости пропорциональны расстояниям тел от центра масс, а направления скоростей составляют равные углы с радиусами-векторами тел, проведенными из центра масс.
В силу (5.1)-(5.3) уравнения движения системы трех тел имеют
где
— массы частиц.
Используя шесть интегралов, определяющих движение центра масс системы, перенесем начало отсчета, из которого проводятся радиусы-векторы 
в центр масс. Тогда
откуда
или
где
Возводя (5.19) в квадрат, получаем
(5.20)
Если форма фигуры не изменяется, то для относительных расстояний 
должно выполняться соотношение
где 
обозначает величину 
при 
, т. е. в начальный момент, когда тела составляют требуемую конфигурацию.
Кроме того, если угол между 
в (5.20) постоянен, то должно выполняться условие
где 
— угловая скорость частицы массы 
относительно центра масс.
Однако в силу интеграла момента количества движения (5.9) суммарный кинетический момент системы относительно начала отсчета равен постоянному вектору С, т. е.
Используя (5.20), (5.21) и (5.22), получаем
где 
— постоянный угол между 
Следовательно,
к аналогично
Из (5.22) и (5.25) находим
Из соотношения (5.26), указывающего на то, что момент количества движения каждого тела относительно центра масс есть величина постоянная, следует, что сила, действующая на тело, проходит через центр масс.
Если 
— сила, действующая на 
отнесенная к единице массы, то уравнение движения имеет вид
откуда в силу (5.22) и (5.25) получаем
или
Отсюда следует
Рассмотрим теперь два случая, удовлетворяющие сформулированным выше условиям. Имеем
или
Если левую и правую части (5.17) при 
умножить векторно на 
, то получим уравнение
которое с учетом (5.18) приводится к виду
Естественно, для двух оставшихся тел справедливы аналогичные Уравнения. Легко показать, что полученной системе уравнений удовлетворяют два решения. Первое решение имеет вид
т. е. тела расположены в вершинах равностороннего треугольника. Второе решение
соответствует расположению тел на прямой линии. Других решений система не имеет.
В первом случае первое уравнение системы (5.17) принимает вид
или с учетом (5.19)
Кроме того, поскольку угол между 
равен 60°, из (5.20) получаем
Выражая отсюда 
и подставляя его в (5.29), находим
где
Таким образом в силу уравнения (5.30), которое представляет собой уравнение движения для задачи двух тел [см. уравнение (4.12)], тело массы 
движется вокруг центра масс по такой орбите (эллипсу, параболе или гиперболе, в зависимости от начальных скоростей), по какой двигалось бы тело единичной массы вокруг тела массы Соответствующий результат получается и для двух других тел. Если начальные условия удовлетворяют сформулированным требованиям, то соответствующие точки все время будут составлять равносторонний треугольник. Заметим, что его размеры могут колебаться или даже увеличиваться до бесконечности.
Во втором случае (точки расположены на одной прямой), если в качестве оси х выбрать данную прямую, то сила, действующая на 
будет представляться следующим выражением:
Однако в силу (5.25)
так что
Поскольку 
пропорционально расстоянию, то сила, действующая на 
центральна и обратно пропорциональна квадрату расстояния. Следовательно, орбита 
(как и орбиты двух других тел) представляет собой коническое сечение.
Рис. 5.1.
Пусть выполняется условие
Предположим, что ось х вращается с угловой скоростью 0, и будем искать решение, удовлетворяющее условиям
Здесь А — постоянная, зависящая от начальных условий. Возможны следующие варианты расположения тел: 321, 231 и 213. Рассмотрим первый случай (рис. 5.1) и введем положительную величину X, определяемую формулой
откуда
Вычитая (5.33) из (5.32) и (5.34) из (5.33), получаем
и
Затем подставляем X в (5.35) и (5.36), исключаем из полученных уравнений 
и расписываем окончательное уравнение по степеням X. В результате получаем уравнение Лагранжа пятой степени
Поскольку коэффициенты при степенях X меняют знак только один раз, то по правилу знаков Декарта уравнение (5.37) имеет только один положительный корень.
Соответствующее положительное значение X однозначно определяет относительное расположение трех частиц в рассматриваемом случае. Очевидно, рассматривая два других порядка расположения частиц (а именно 231 и 213), можно получить два других решения, соответствующих расположению частиц на одной прямой.
