5.10.6. Поиск симметричных периодических орбит

Решение

уравнений движения (5.55) является периодическим, если для фиксированного значения Т и любых выполняется соотношение

Значение Т (период) соответствует первому моменту времени после удовлетворяющему (5.62). Очевидно, имеет место соотношение

т. е. решение можно считать периодическим с периодом , где — любое целое число.

При обсуждении периодичности можно воспользоваться понятием зеркальной конфигурации (см. разд. 5.6). Если применить теорему о периодичности к пространственной ограниченной задаче, то видно, что существует два типа зеркальных конфигураций:

а) третье тело расположено в плоскости , а вектор его скорости перпендикулярен плоскости

б) третье тело расположено на оси х, а вектор его скорости перпендикулярен оси х.

Эти два случая показаны на рис. 5.7. Периодичность орбиты устанавливается при помощи сформулированной выше теоремы, если на этой орбите зеркальная конфигурация достигается дважды.

Для нахождения пространственных периодических орбит Гудас 19] использовал комбинацию случаев (а) и (б). В зависимости от характера используемой комбинации эти орбиты обладают простой или двойной симметрией.

Поиск симметричных периодических орбит в плоской ограниченной задаче состоит в нахождении орбит, на которых дважды реализуется зеркальная конфигурация типа б). В обоих случаях вектор скорости третьего тела перпендикулярен оси х [напомним, что он всегда лежит в плоскости . Такие орбиты симметричны относительно оси х.

Возьмем начальные условия, удовлетворяющие зеркальной конфигурации; затем, изменяя начальные условия (но так, чтобы зеркальная конфигурация сохранялась), будем искать такие значения, при которых достигается вторая зеркальная конфигурация. Требование сохранения зеркальной конфигурации приводит к тому, что в любом допустимом наборе начальных условий только две величины можно изменять, а другие две величины

фиксированы (и равны нулю). Обычно эти значения находятся с использованием метода дифференциальной коррекции. Пусть

есть значения у, к в момент времени, соответствующий периоду искомой периодической орбиты, и пусть

— соответствующие значения «исправленных» начальных условий, где — поправки. Раскладывая функции в ряды Тейлора в точке , можно линеаризовать систему (5.65) и, наложив условия периодичности получить выражения для поправок.

Рис. 5.7.

Эту процедуру можно повторять, получая на каждом шаге все более точные результаты, до тех пор, пока отклонения не станут меньше допустимых. Опуская нули в скобках, можно написать

    (5.66)

или, используя значения функций , полученные в (5.64),

где

Решение уравнений (5.66) дает необходимые поправки начальных условий

Заметим, что поиск значительно упростится, если свести его к одномерному поиску. Будем считать функции и g в (5.64) значениями у и х при пересечении орбиты с осью х. Тогда первое уравнение (5.64) примет вид

и остается только одно условие, которому нужно удовлетворить, т. е. условие

Зафиксируем одну из двух свободных переменных (скажем, ). Тогда поиск сводится к задаче нахождения нуля функции одной переменной

Здесь можно воспользоваться интегралом Якоби. Действительно, разрешив (5.47) относительно у, получаем

или

Любой допустимый набор начальных условий имеет вид

Таким образом, поиск является одномерным и проводится вдоль оси х. Для того чтобы каждому х соответствовало одно значение у, в (5.71) все время берется знак минус. При этом к равно нулю, а постоянная Якоби фиксирована. Для заданного значения постоянной Якоби С выполняется численное интегрирование уравнений движения и при пересечении оси х регистрируется знак функции

Функция (5.73) непрерывна по начальным условиям. Поэтому изменение ее знака при двух значениях указывает на существование нуля функции на интервале между этими двумя значениями.

Если нуль найден, то это означает, что установлена вторая зеркальная конфигурация (поскольку при пересечении оси а следовательно, найдена периодическая орбита. Эта орбита замкнется при пересечении с осью х (если до пересечения система не имела зеркальных конфигураций).