5.11.3. Координаты Якоби

Введем уравнения движения общей задачи трех тел в форме, чрезвычайно удобной при исследовании систем типа Земля — Луна — Солнце и тройных звезд.

Рис. 5.10.

Если С — центр масс системы тел (рис. 5.10), то в качестве векторов положений можно взять вектор и вектор . Такие переменные впервые ввели Якоби и Лагранж.

Уравнения относительного движения трех тел могут быть получены из уравнений (5.85), если каждое из них разделить на

воспользоваться оператором и учесть, что Тогда получим

где

и

В нашем случае и, кроме того, (где ), так как векторная сумма трех сторон треугольника равна нулю. Тогда из первого уравнения (5.86) получаем

или

Таблица 5.1

Кроме того, имеем

Воспользовавшись вторым из уравнений (5.86) и уравнением (5.88), после простых преобразований получаем

    (5.89)

Следуя Шебехели, введем вектор таким образом:

Кроме того, введем обозначения . Тогда уравнения (5.88) и (5.89) примут вид

и

Уравнения (5.90) и (5.91) в координатах Якоби образуют систему 12-го порядка. Понижение порядка от 18 до 12 было выполненно с использованием шести интегралов движения центра масс. Таким образом, остаются еще интегралы энергии и момента количества движения. Читателю предлагается в качестве упражнения получить их из (5.90) и (5.91).

Уравнения (5.90) и (5.91) можно представить в более компактной форме, которая в дальнейшем будет использоваться при исследовании движения Луны (гл. 9) и тройной звездной системы (гл. 14). Введем функцию

Тогда уравнения (5.90) и (5.91) принимают вид

где