11.3.5. Зависимость расхода топлива от времени перехода
Было показано, что при заданной величине импульса он оказывает наибольшее влияние на изменение кинетической энергии аппарата, если прикладывается по касательной к орбите. Следовательно, наиболее экономное использование топлива имеет место в случае касательных импульсов. Однако такая экономия топлива приводит к касательным орбитам перехода, а они являются медленными.
Рис. 11.5.
При таких переходах большая часть времени уходит на движение по тому участку кеплеровской орбиты, где истинная аномалия изменяется в пределах 
. Увеличивая импульс, предназначенный для перевода аппарата с исходной орбиты на орбиту перехода, но оставляя его по-прежнему касательным, можно увеличить большую полуось эллипса перехода. При этом, как видно из разд. 11.3.2, может быть получена даже параболическая или гиперболическая орбита перехода. Мы пока не будем рассматривать эти апериодические орбиты. Очевидно, что при увеличении импульса точка пересечения эллипса перехода с конечной орбитой (которая предполагается круговой и компланарной с исходной круговой орбитой) регрессирует. На рис. 11.5 истинные аномалии точек 
последовательно уменьшаются по мере увеличения импульса в точке Р.
Время перехода 
- это уже не время, определяемое полупериодом орбиты перехода, а время, которое требуется аппарату для прохождения по истинной аномалии угла PSA, который мы будем обозначать 
Из гл. 4 имеем
(11.31)
и
(11.32)
где
(11.33)
Величины 
, а 
— это соответственно GM, большая полуось и эксцентриситет орбиты перехода; t и 
— соответственно время достижения аппаратом конечной орбиты и время выхода на орбиту перехода. Следовательно, время перехода 
равно 
Если радиус исходной орбиты 
то
(11.34)
Скорость 
в перицентре орбиты перехода выражается формулой
где 
— скорость на исходной орбите, а 
— приращение скорости, обусловленное импульсом.
Имеем
Величины а не находятся из уравнений (11.34) и (11.35), после чего, воспользовавшись уравнениями (11.30)-(11.33), определяется время перехода для данного значения 
Если, как в рассматриваемом случае, конечная орбита является окружностью, то ее радиус 
равен радиусу-вектору аппарата на орбите перехода в точке А, так что
откуда можно определить 
Если конечная орбита эллиптическая, то радиус-вектор точки пересечения может быть выражен через истинную аномалию, большую полуось и эксцентриситет конечной орбиты. Величину и направление скорости в этой точке как
для орбиты перехода, так и для конечной орбиты можно найти, воспользовавшись соотношениями из гл. 4, а именно
и
где 
— угол между вектором скорости и радиусом-вектором. Сравнение обоих векторов скорости дает возможность вычислить приведенным ниже способом величину импульса, необходимого для преобразования орбиты перехода в конечную орбиту аппарата.
На рис. 11.6, который представляет собой обобщение рис. 11.5 на случай, когда конечная орбита является эллипсом, VT и VN обозначают скорости в точке А на орбите перехода и на конечной орбите соответственно, 
— это углы между векторами скорости и радиусом-вектором.
Рис. 11.6.
Тогда для того, чтобы преобразовать орбиту перехода в конечную орбиту, скорость должна быть изменена на величину 
. Из параллелограмма скоростей ABCD следует, что
(11.36)
и
где 
Таким образом, могут быть вычислены 
. Для случаев параболических и гиперболических переходов можно воспользоваться соответствующими уравнениями гл. 4.
На рис. 11.5 также видно, что кроме регрессии точки А имеет место увеличение угла, под которым пересекаются орбита перехода и конечная орбита. Это является нежелательным, поскольку приводит к все большему росту импульса, необходимого для изменения орбиты в точке А. Таким образом, на практике сокращение времени перехода приводит к увеличению расхода топлива. Обобщение задачи на случай перехода между двумя эллипсами малого эксцентриситета, плоскости которых наклонены друг к другу под небольшим углом, не меняет основного вывода о том, что если существует быстрая орбита перехода, пересекающая один или оба эллипса, то на ней расходуется значительно больше топлива, чем на почти касательной орбите.
