13.5. Метод Ольберса для параболических орбит

Этот метод имеет некоторое сходство с гауссовым, но отличается тем, что в методе Ольберса используется уравнение Эйлера для параболического движения. Пусть s — длина хорды между двумя положениями и которые тело, движущееся вокруг Солнца с массой М по параболической орбите, занимает в моменты тогда можно показать, что

    (13.32)

Если разделить обе части (13.32) на и положить

то (13.32) принимает вид

Существуют таблицы величины в функции (например, таблицы Баушингера .

Ольберс предположил, что если интервал времени между наблюдениями невелик, то «отношения треугольников» (те же величины которые были определены в предыдущем разделе) будут пропорциональны интервалам времени между наблюдениями. Тогда

    (13.35)

Переписав уравнение (13.30) в виде

    (13.36)

мы тем самым введем вектор U, компланарный с . Тогда скалярное произведение выражения (13.36) на величину оказывается таким, что остаются только члены с так что результирующее уравнение будет

    (13.37)

где

    (13.38)

величины в скобках представляют собой тройные скалярные произведения. После этого Ольберс использовал выражение Эйлера (13.34) вместе с (13.38) следующим путем.

Хорда s определяется соотношением

Однако в силу (13.7)

или

    (13.39)

Аналогично

    (13.40)

Отсюда путем использования (13.29) и (13.35) для исключения имеем

    (13.41)

Если U известно, то можно найти , а отсюда и

Теперь три положения Земли в моменты связаны соотношением

    (13.42)

где — отношения треугольников для гелиоцентрической орбиты Земли [см. уравнение (13.28)].

Далее приближенно, как и в (13.35),

так что

    (13.43)

Но в силу (13.36)

откуда с учетом (13.42) и (13.43),

Таким образом, в качестве первого приближения для U (эта величина должна быть компланарна V и ) можно положить После этого первые приближения для находятся из уравнений (13.39)-(13.41) при выборе определенного значения для . В свою очередь, 11 вычисляется из уравнения (13.33); далее, из таблицы в функции 11 получается значение соответствующее найденному значению . В общем случае это значение не будет согласовываться с вычисленным по значениям в первом приближении, однако метод проб и ошибок позволяет подобрать такие значения, которые обеспечивают нужное согласие. Из уравнения (13.37) вычисляется а отсюда из (13.29) и (13.36) выводятся значения Элементы орбиты (причем эксцентриситет равняется 1) можно вычислить обычным путем; при этом для определения времени прохождения перигелия используется уравнение Баркера.

Различные методы улучшения этой предварительной орбиты без привлечения дополнительных данных наблюдений здесь излагаться не будут.