4.5.4. Средняя, эксцентрическая и истинная аномалии
В этом разделе будут рассмотрены средняя, эксцентрическая и истинная аномалии и связи между ними для случая эллиптической орбиты.
Радиус-вектор за период Т поворачивается на 
радиан, поэтому для средней угловой скорости 
(среднего движения) справедлива формула
Соотношение
можно переписать в виде
Рис. 4.6.
Если 
— момент прохождения через перигелий, то радиус-вектор, вращающийся вокруг S со средней угловой скоростью 
, за время 
опишет угол
(4.49)
Введенная таким образом величина М называется средней аномалией.
Построим на 
как на диаметре окружность (рис. 4.6) и проведем через точку Р на эллипсе линию, перпендикулярную большой оси АА, до пересечения с окружностью в точке Q. Угол 
обычно обозначаемый Е, называется эксцентрической аномалией и связан с истинной аномалией 
Имеем
но
следовательно,
Кроме того, в силу свойств эллипса имеет место соотношение
(4.51)
В результате получаем
или
Возводя в квадрат (4.50) и (4.52) и складывая, находим
(4.53)
Имеем
откуда
Используя (4.50) и (4.53), получаем
и аналогично
Разделив (4.55) на (4.56), окончательно находим
Эксцентрическая аномалия Е и средняя аномалия М связаны между собой важным уравнением, называемым уравнением Кеплера. Выведем его.
Из второго закона Кеплера имеем
или
или, используя (4.47),
С другой стороны, имеем
Если разделить площадь RPA на узкие полосы, параллельные малой оси, и воспользоваться свойством (4.51), то можно показать, что
.
Тогда, воспользовавшись (4.50) и (4.52), получаем
Если сравнить (4.58) и (4.59), то видно, что имеет место связь
Это и есть уравнение Кеплера. Следует отметить, что здесь и 
и М измеряются в радианах.
