9.11. Теории Луны
Со времен Ньютона многие математики и астрономы пытались создать теорию движения Луны. Помимо естественного желания иметь аналитическую теорию, которая предсказывала бы положение Луны с точностью лучших методов наблюдений, позволила бы изучать эволюцию лунной орбиты и проверить, насколько полно объясняют движение спутника законы Ньютона, были и другие мотивы создания теории. Отсутствие точных часов (пока Харрисон не сделал в 1761 г. первый хронометр) не позволяло решить важную практическую задачу определения долготы судна в открытом море. Галилей высказал идею определения времени путем сравнения наблюденных положений спутников Юпитера с табличными значениями. Ньютон предпочитал использовать для этой цели Луну. Таким образом, вначале поиски, направленные на создание теории движения Луны, стимулировались военными, торговыми и исследовательскими потребностями. Однако и с исчезновением
этих стимулов поиск уже не мог прекратиться. Во все времена находилось достаточно людей, которые продолжали исследования из интереса к задаче самой по себе. К тому же по мере уточнения методов наблюдений старые теории становились недостаточно точными или в них обнаруживались ошибки и их надо было заменять (например, развитие Дамуазо теории Лапласа). В последнее время исследования в геофизике и теории приливов (в сочетании с методами лазерной локации Луны) дали возможность более точно вычислять эфемериды Луны.
Ньютон находил задачу движения Луны настолько трудной, что, как он жаловался, она вызывала у него головную боль, лишала сна и он больше не мог о ней думать. Однако ему удалось показать, что известные неравенства в орбитальном движении Луны вызваны Солнцем. Кроме того, учитывая члены второго порядка, он вычислил движение перигея, отличающееся от наблюдаемого значения всего на 8%.
Важный вклад в теории движения Луны внесли Ньютон, Эйлер, Клеро, Пуассон, Лаплас, Дамуазо, Ганзен, Делоне, Хилл, Браун и Депри. Все построенные ими теории имели две общие черты: они содержали большое число членов и требовали выбора промежуточной орбиты нулевого порядка. Необходимое число членов зависело не только от требуемой точности, но и от выбора промежуточной орбиты и метода исследования. В большинстве теорий на первом этапе использовались уравнения движения, в которые входили полярные координаты или функции орбитальных элементов. Правда, в теории Эйлера 1772 г., применялись прямоугольные координаты, причем оси х и у. вращались со скоростью, равной среднему угловому движению Луны. В теории Понтекулана, опубликованной в 1846 г, использовались полярные координаты. В теории Хилла применялись вращающиеся прямоугольные координаты, но при этом ось х была постоянно направлена в точку, соответствующую положению среднего Солнца. В различных теориях в качестве промежуточной орбиты использовались неподвижный кеплеровский эллипс, вращающийся эллипс фиксированной формы, а также значительно более сложные периодические орбиты. Например, Хилл использовал периодическую орбиту, являющуюся частным решением системы двух дифференциальных уравнений второго порядка относительно и и s, где
Здесь X и Y — геоцентрические эклиптические координаты Луны, ось X всегда направлена в среднее геоцентрическое положение Солнца. Независимая переменная 
определялась выражением
где 
среднее движение Солнца вокруг Земли, t — время, 
— постоянные, значения которых на этом этапе пока не определены.
Свои уравнения Хилл получил без учета эксцентриситета и параллакса для Солнца, а также широты и эксцентриситета для Луны. Решение, использованное Хиллом в качестве промежуточной орбиты, выражается рядом Фурье по 
Оно представляет собой овал, симметричный относительно осей; при этом большая ось овала перпендикулярна направлению на Солнце. Эту фигуру называют вариационной кривой Хилла. Хилл и Браун аналитически исследовали отклонения истинной орбиты Луны от указанной промежуточной орбиты. Позднее Браун составил таблицы для теории движения Луны Хилла—Брауна, по которым можно вычислять эфемериду Луны. Однако в последнее время с развитием электронно-вычислительной техники для определения положений Луны стали использоваться более точные теории, в которые и сейчас продолжают вводиться дальнейшие усовершенствования.
Следует отметить следующие две характерные тенденции в развитии теории движения Луны;
1. Все теории можно разделить на три класса: аналитические, численно-аналитические и численные. Теория Делоне представляет собой пример аналитического подхода в чистом виде. Для возмущающей функции получено разложение по малому параметру до седьмого порядка. В процессе приведения этой функции к нормальному виду было сделано свыше 500 канонических преобразований, в результате чего в конце концов были получены выражения для широты, долготы и синуса параллакса Луны. Делоне на эту работу потребовалось около двадцати лет. Благодаря тому что метод является чисто аналитическим, его можно применять в любой задаче трех тел.
Численно-аналитический подход впервые реализовал Лаплас. Считая два эксцентриситета и 
неопределенными параметрами (i — наклонение), он вместо величины 
использовал ее численное значение. Теория Хилла—Брауна также относится к классу численно-аналитических теорий.
Дж. Эри предложил численный метод уточнения теории Делоне. Его метод сулил большие выгоды, однако в работе самого Эри, опубликованной в 1886 г., была допущена ошибка. Недавно Эккерт применил метод Эри к основной задаче движения Луны в теории Брауна.
Переход от аналитических теорий к численным был обусловлен тем, что, применяя численный метод, можно значительно быстрее и с меньшими усилиями достигнуть требуемой точности. Создание быстродействующих ЭВМ с большим объемом памяти изменило такую точку зрения. Герджет и Мазен еще в 1959 г. показали, что
ЭВМ можно запрограммировать на выполнение аналитических выкладок, с которыми так часто имеют дело в небесной механике. На пути такого использования ЭВМ приходится преодолевать большие трудности. На написание, отладку и проверку программы для конкретной задачи может потребоваться несколько лет, но зато по окончании этих операций машина выдает все необходимые аналитические выражения. Типичным примером может служить выполненное Делоне разложение возмущающей функции для Луны. Для получения аналитического разложения возмущающей функции до значительно более высокого порядка с помощью ЭВМ потребовались не годы, а часы. Возможность выполнения аналитических выкладок на машине открыла новую эру в изучении орбитального движения.
Аналитические эфемериды Луны, полученные Депри, оказались значительно точнее, чем в теории Брауна (в части, касающейся основной проблемы в теории движения Луны). В табл. 9.6 (взятой из работы Депри) сравнивается число тригонометрических аргументов в выражениях для эклиптической долготы, широты и синуса параллакса, учитываемых в теории Брауна, в эфемеридах Луны, уточненных Эккертом (ILE), и в полученных на машине аналитических эфемеридах Луны (ALE).
Таблица 9.6
2. Другая тенденция состоит в значительном повышении точности наблюдений и изменении относительной важности измеряемых величин. До появления радиолокатора в теории движения Луны использовались главным образом эклиптические долгота и широта Луны, а расстояние (или связанное с ним значение синуса параллакса) применялось уже в третью очередь. Такой порядок, или приоритет, был продиктован тем, что астрономы располагали только оптическими измерениями положений Луны на небесной сфере. Радиолокация, позволяющая непосредственно получить расстояние, повысила значение синуса параллакса. Установка на Луне лазерных уголковых отражателей окончательно закрепила первую роль в лунной теории за рядами для синуса параллакса. Кроме того, поскольку точность лазерных измерений расстояния Земля—Луна составляет 25 см, то и ряды в теории Луны Должны обеспечивать такую же точность. Ряды для двух других
координат должны быть уточнены аналогичным образом, так как все три координаты зависят друг от друга. Таким требованиям в состоянии удовлетворить только полученная на ЭВМ аналитическая лунная теория типа теории Депри.
