6.7.3. Коротко- и долгопериодические вариации
Мы видели, что в случае движения планет возмущающая функция после разложения представляется в виде (6.31), (6.32). При определении возмущений первого порядка в результате интегрирования получаются члены вида
где
— постоянная, величина которой является функцией эксцентриситетов и наклонений. При увеличении h и 
быстро уменьшается по абсолютной величине.
Пусть 
положительно, 
произвольно (положительно или отрицательно). Период Т такого члена определяется по формуле
а его амплитуда равна 
. Средние движения 
определяются из наблюдений с достаточной степенью точности и могут считаться известными. Два целых числа 
всегда можно подобрать так, чтобы
где v сколь угодно мало.
Обычно в подавляющем большинстве случаев значения h и таковы, что величина 
по сравнению с 
не очень мала, и периоды таких членов имеют тот же порядок, что и орбитальные периоды рассматриваемых планет. Такие члены называют короткопериодическими вариациями.
Значительно интереснее те члены, в которых пара величин h и 
такова, что 
мало.
Функция эксцентриситетов и наклонений 
очень мала, если h или велико и, следовательно, амплитуда колебаний 
в общем случае не будет сильно расти при уменьшении 
. Однако если при малых целых значениях h и 1 получается малое значение 
то амплитуда будет большой.
Если отношение средних движений двух тел приближенно равно простой дроби, то говорят, что две орбиты соизмеримы. Соизмеримость может приводить к долгопериодическим вариациям значительной амплитуды. Такой замечательный факт имеет место при взаимном возмущении Юпитера и Сатурна. Для этих планет 
(здесь среднее движение выражено в градусах за средние солнечные сутки).
Полагая 
получаем
Период возмущения составляет приблизительно 900 лет. Наиболее очевидно его влияние на среднюю долготу планет.
Поскольку 
то возмущение I первого порядка, обозначаемое 
определяется по формуле
Наличие 
приводит к появлению в периодических членах коротко- и долгопериодических вариаций, о которых говорилось выше. К значительно более интересному эффекту приводит член 
По определению
откуда
так что
Имеем
и, следовательно,
Раскладывая правую часть в ряд, получаем
откуда
Величина 
имеет вид
где
Следовательно, 
можно представить следующим образом:
Амплитуда долгопериодической вариации средней долготы существенно увеличивается из-за наличия в знаменателе квадрата малой величины. В случае Юпитера и Сатурна средняя долгота под действием таких возмущений может изменяться соответственно на 21 и 49.
