5.11. Общая задача трех тел

Можно было бы подумать, что, кроме известных интегралов и теоремы вириала, в задаче трех тел не удастся получить никакие другие общие результаты, поскольку и в ограниченной задаче исследованы еще не все решения. В самом деле, даже в ограниченной задаче, если два тела конечной массы двигаются не по окружностям, а по эллипсам, то интеграл Якоби не имеет места. Тем не менее работы последних лет (главным образом численное интегрирование общей задачи трех тел, выполненное для широкого спектра начальных условий и масс) позволили сделать определенные выводы о поведении системы трех тел вообще, но не о поведении какой-то конкретной системы. Точно так же статистик страхового общества сейчас может сделать точный прогноз об изменении со временем численности населения (сколько процентов умрет в следующем году и т. д.), но он не в состоянии сказать что-либо определенное о каком-то конкретном человеке.

Шебехели [32] ввел удобную систему классификации динамического поведения в общей задаче трех тел. Однако, прежде чем перейти к ней, приведем уравнения движения и определим некоторые величины.

Пусть индекс обозначает три тела, — момент инерции системы, Т — суммарная кинетическая энергия, U — силовая функция, С — полная энергия системы. Введем вектор положения тела , (с массой ) и вектор положения тела относительно тела . Тогда уравнения движения имеют вид

причем силовая функция U определяется обычным образом:

Здесь G — гравитационная постоянная, а — оператор grad для i-го тела.

Из этих уравнений получаются 10 интегралов, в том числе интеграл энергии

Момент инерции 1 определяется по формуле

Из теоремы вириала следует, что при положительной энергии система должна распасться, так как в этом случае

или

Значит, либо одно тело уйдет на бесконечное расстояние (а два другие образуют двойную систему), либо все три тела разлетятся по гиперболическим орбитам. Шебехели назвал первый случай уходом (иногда такое движение называют гиперболическо-эллиптическим), а второй случай разлетом.