12.4. Использование интеграла Якоби

Если пренебречь тяготением Солнца, принять орбиту Луны вокруг Земли за правильную окружность и считать Землю и Луну материальными точками, то задача об орбите космического корабля в пространстве между Луной и Землей превращается в ограниченную круговую задачу трех тел, которая рассматривалась в разд. 5.10. В этой модели системы Земля — Луна — корабль Луна и Земля представляют собой две материальные точки с массами соответственно, а корабль считается материальной частицей с пренебрежимо малой массой.

Можно предполагать, что корабль начинает маневр перехода из окрестности Земли в окрестность Луны путем ухода с промежуточной орбиты (орбиты ожидания) вокруг Земли. При заданном импульсе (который обеспечивается двигателями корабля) произойдет требуемое увеличение его полной энергии (т. е. возрастание его кинетической энергии). Новая орбита корабля будет представлять собой геоцентрический эллипс, параболу или гиперболу (в зависимости от величины импульса), по которой он будет двигаться до тех пор, пока приближение Луны не вынудит его отклоняться все более и более от первоначальной траектории.

Интеграл Якоби и определяемые с его помощью поверхности нулевой скорости (см. разд. 5.10) позволяют сделать некоторые выводы о траектории полета корабля под влиянием притяжения Земли и Луны. В системе координат, вращающейся вместе с прямой Земля — Луна (см. рис. 5.3), положение и относительная скорость корабля после импульса, обеспечившего его уход, можно без труда рассчитать. Теперь соотношение (5.47) — интеграл Якоби — используется для вычисления С — постоянной относительной энергии — путем подстановки в (5.47) упомянутых выше величин.

На рис. 5.4, 5.5 и 5.6 (в особенности на первом из них) показаны поверхности нулевой скорости для различных значений С. Видно, что до тех пор, пока С меньше определенного значения (рис. 5.4, б), корабль не может достичь окрестности Луны. Указанное значение определяет минимальную кинетическую энергию, а следовательно, и минимальный импульс, задаваемый двигателями, который необходим для осуществления перелета. Очевидно, полезно дальнейшее уменьшение С до значения С, (рис. 5.4, в), т. е. использование большего по величине импульса, чтобы расширить горловину, через которую мог бы пройти корабль. Однако если импульс слишком велик и приводит к такому малому значению С, как то почти все пространство оказывается достижимым для корабля, хотя неизвестно, какова будет его траектория в этом пространстве. Например, корабль может пересечь пространство Земля — Луна и сделать несколько оборотов вокруг Луны в качестве ее временного спутника, прежде чем под влиянием накапливающихся воздействий Луны он не покинет Луну и вернется в окрестность Земли.