4.13. Использование рекуррентных соотношений

Стеффенсон [10, 11) предложил и применил метод, который позволил провести рекуррентное вычисление производных, необходимых при разложении в ряд Тейлора. После него неоднократно применялись различные модификации этого метода. Сначала путем введения вспомогательных переменных преобразуется исходное уравнение движения, причем эти переменные вводятся таким образом, чтобы и само уравнение, и дифференциальные уравнения для вспомогательных переменных в правой части были квадратичными.

Итак, если ввести переменные (это только один из возможных наборов переменных), то легко показать, что уравнение (4.123) сводится к следующей системе:

    (4.124)

Правые части всех этих уравнений имеют квадратичную форму. Подставляя в уравнения (4.124) бесконечные ряды

    (4.125)

и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем рекуррентные формулы

    (4.126)

Начальные значения и, до, s и а получаются из начальных условий для положения и скорости. Затем, используя соотношения (4.126), шаг за шагом вычисляют производные всех порядков величин . Хотя описанная процедура может показаться громоздкой и длительной, на практике при использовании ЭВМ она значительно более эффективна, чем получение точных выражений для членов высокого порядка рядов

Более подробную информацию можно найти в работе Херрика [5].