§ 8. Теорема Грина

Если бы в электростатических задачах мы всегда имели дело с дискретным или непрерывным распределением заряда без всяких граничных поверхностей, то общее решение (1.17) было бы самой удобной и непосредственной формой решения таких задач и не нужны были бы ни уравнение Лапласа, ни уравнение Пуассона. Однако в действительности в целом ряде, если не в большинстве, задач: электростатики мы имеем дело с конечными областями пространства (содержащими или не содержащими заряд), на граничных поверхностях которых заданы определенные граничные («краевые») условия. Эти граничные условия могут быть заменены некоторым соответственно подобранным распределением зарядов вне рассматриваемой области (в частности, в бесконечности), однако соотношение (1.17) в этом случае уже непригодно для расчета потенциала, за исключением некоторых частных случаев (например, в методе изображений).

Для рассмотрения задач с граничными условиями необходимо расширить используемый нами математический аппарат, а именно вывести так называемые формулы, или теоремы Грина (1824 г.). Они получаются непосредственно из теоремы о дивергенции

которая справедлива для любого векторного поля А, определенного в объеме У, ограниченном замкнутой поверхностью S. Пусть , где — произвольные скалярные функции. Тогда

и

где — нормальная производная на поверхности S (по направлению внешней нормали по отношению к объему V). Подставляя (1.32) и (1.33) в теорему о дивергенции, мы придем к первой формуле Грина

Напишем такую же формулу, поменяв в ней местами и и вычтем ее из (1.34). Тогда члены с произведением сократятся и мы получим вторую формулу Грина, называемую

иначе теоремой Грина:

С помощью теоремы Грина можно представить дифференциальное уравнение Пуассона в виде интегрального уравнения. Для этого рассмотрим какой-либо определенный вид функции например положим ее равной где — точка наблюдения, — переменная интегрирования. Далее функцию положим равной скалярному потенциалу Ф, который, как мы видели, удовлетворяет уравнению Пуассона Согласно (1.31), , так что (1.35) дает

Отсюда следует, что для точки находящейся внутри объема V

Для точки находящейся вне поверхности S, правая часть соотношения (1.36) равна нулю. Заметим, что это согласуется с интерпретацией поверхностного интеграла как потенциала простого слоя зарядов с плотностью и двойного (дипольного) слоя с плотностью момента . Скачки электрического поля и потенциала (1.22) и (1.27) на граничной поверхности как раз обеспечивают равенство нулю потенциала и поля вне объема V.

По поводу формулы (1.36) следует сделать два замечания. Во-первых, если поверхность S удаляется в бесконечность и электрическое поле убывает на ней быстрее, чем то поверхностный интеграл обращается в нуль и (1.36) переходит в известное выражение (1.17). Во-вторых, для объема, не содержащего зарядов, потенциал в любой точке внутри объема (дающий решение уравнения Лапласа), согласно (1.36), выражается только через значение потенциала и его нормальной производной на поверхности, ограничивающей объем. Этот довольно неожиданный результат не является, однако, решением граничной задачи, а представляет собой лишь интегральное уравнение, поскольку, задав и {граничные условия Коши), мы переопределили задачу. Мы обсудим этот вопрос более подробно в следующих параграфах, в которых будут рассмотрены методы нахождения решений с помощью теоремы Грина (1.35) при соответствующих граничных условиях.