ЗАДАЧИ

16.1. Три заряда расположены вдоль оси z, причем заряд находится в начале координат, а заряды —q — при Определить низшие отличные от нуля мультипольные моменты, угловое распределение излучения и полную излучаемую мощность. Считать, что

16.2. Тело, ограниченное весьма близкой к сфере поверхностью, описываемой уравнением

заряжено с постоянной объемной плотностью, причем полный заряд равен Q. Малый параметр гармонически меняется во времени с частотой Это соответствует поверхностным волнам на сфере. Удерживая лишь низшие члены разложения по Р, вычислить в длинноволновом приближении отличные от нуля мультипольные моменты, угловое распределение излучения и полную излучаемую мощность.

16.3. В задаче 16.2 заменить постоянную плотность распределения заряда постоянной плотностью намагниченности, считая, что намагниченность параллельна оси z и полный магнитный момент тела равен М. В том же приближении вычислить отличные от нуля мультипольные моменты, угловое распределение излучения и полную излучаемую мощность.

16.4. Излучающая антенна имеет форму расположенного в плоскости кругового витка радиусом а с центром в начале координат. Ток в проводе меняется по закону

а) Найти выражения для векторов Е и В в волновой зоне, не налагая ограничений на величину Определить мощность, излучаемую в единицу телесного угла.

б) Какой из отличных от нуля мультипольных моментов имеет наинизший порядок или Вычислить этот момент в приближении

16.5. Два электрических диполя с дипольными моментами расположены на расстоянии 2а друг от друга; оси обоих диполей параллельны друг

другу, но дипольные моменты ориентированы в противоположных направлениях. Диполи вращаются с постоянной угловой частотой со вокруг параллельной им оси, расположенной посредине между ними .

а) Вычислить составляющие квадрупольного момента.

б) Показать, что угловое распределение излучения определяется функцией а полная излучаемая мощность равна

16.6. В длинноволновом приближении вычислить отличные от нуля электрические мультипольные моменты для распределения плотности зарядов

и определить угловое распределение излучения и полную излучаемую мощность для каждого мультиполя. Приведенное распределение заряда ветствует переходу между состояниями в атоме водорода.

16.7. Поля поперечных магнитных волн, распространяющихся в цилиндрическом волноводе, имеющем круглое сечение радиусом R, описываются формулами

где m — индекс, определяющий зависимость от угла, Р — постоянная распространения, , причем у таково, что Вычислить отношение - составляющей электромагнитного момента количества движения к энергии поля. При выводе удобно произвести несколько раз интегрирование по частям и использовать дифференциальное уравнение для составляющей поля

16.8. Сферическая полость радиусом а в проводящей среде может служить электромагнитным резонатором.

а) В случае бесконечной проводимости стенок найти трансцендентные уравнения для собственных частот волн ТЕ- и ТМ-типов в резонаторе.

б) Определить численные значения длин волн (отнесенных к радиусу а) для первых четырех волн ТЕ- и ТМ-типов.

в) Найти явные выражения для электрического и магнитного полей в резонаторе, соответствующих низшим волнам ТЕ- и ТМ-типов.

16.9. Проводимость немагнитных стенок полости, описанной в задаче 16.8, велика, но конечна. Считая толщину скин-слоя малой по сравнению с радиусом полости а, показать, что определяемая соотношением (8.82) добротность Q резонатора равна

и

где

16.10. Рассмотреть собственные колебания идеально проводящей твердой сферы радиусом а в свободном пространстве.

а) Определить дисперсионные уравнения для собственных частот колебаний ТЕ- и ТМ-типов. Показать, что при временной зависимости вида корни со всегда имеют отрицательную мнимую часть.

б) Вычислить собственные частоты для волн ТЕ- и ТМ-типов с Составить таблицу отношений длин волн (определяемых действительной частью собственных частот) к радиусу а и отношений декрементов затухания (определяемых как время, в течение которого энергия убывает в раз от своего начального значения) к времени установления для каждого типа волн.

16.11. Плоская электромагнитная волна частотой с круговой поляризацией падает на немагнитную проводящую сферу радиусом а.

а) В длинноволновом приближении получить выражения для электрического и магнитного полей вблизи поверхности и на поверхности сферы, считая ее идеально проводящей.

б) Используя методы, развитые в гл. 8, вычислить долю мощности падающей волны, поглощаемую сферой, считая проводимость большой, но конечной. Определить зависимость сечения поглощения от волнового числа радиуса сферы а и толщины скин-слоя . При расчете считать

16.12. Рассмотреть рассеяние плоской электромагнитной волны на немагнитной сфере радиусом а с диэлектрической проницаемостью .

а) Определив поля внутри сферы и сшивая их с полным полем (сумма падающего и рассеянного полей) вне сферы, вычислить коэффициенты разложения рассеянной волны по мультиполям. Найти сдвиги фаз для рассматриваемой задачи.

б) Рассмотреть длинноволновое приближение и получить явные выражения для дифференциального и полного сечений рассеяния. Построить угловое распределение излучения в случае

в) Сравнить результаты, получающиеся в предельном случае , с соответствующими результатами для идеально проводящей сферы.