§ 2. Единицы измерения и уравнения электродинамики

При рассмотрении единиц и размерностей в теории электромагнетизма мы будем придерживаться традиции и примем в качестве основных независимых величин длину массу и время (t). Кроме того, воспользуемся общепринятым определением тока как скорости изменения заряда во времени . Это означает, что отношение заряда к току имеет размерность времени. Уравнение непрерывности, связывающее плотности заряда и тока, принимает при этом вид

Для простоты мы будем вначале рассматривать лишь электромагнитные явления в свободном пространстве в отсутствие зарядов и токов.

Основным физическим законом электростатики является закон Кулона, определяющий силу взаимодействия двух точечных зарядов q и расположенных на расстоянии друг от друга. Этот закон можно записать в виде

Величину и размерность постоянного коэффициента можно либо определить из уравнения, если независимо определена величина

на и размерность единицы заряда, либо выбирать произвольным образом, задав тем самым единицу заряда. Требуется лишь, чтобы произведение имело размерность

Напряженность электрического поля Е — производная величина, определяемая обычно как сила, действующая на единичный заряд. Можно было бы определить напряженность электрического поля более общим образом, считая ее пропорциональной силе, действующей на единичный заряд, с коэффициентом пропорциональности, являющимся универсальной постоянной. При этом коэффициент пропорциональности может, вообще говоря, быть размерным, так что напряженность электрического поля не будет иметь размерности силы на единичный заряд. Однако, принимая такое чересчур общее определение Е, мы ничего не выигрываем, так как Е представляет собой первую производную характеристику поля, подлежащую определению. Лишь при определении последующих характеристик поля может оказаться удобным ввести в определяющие формулы размерные постоянные коэффициенты, с помощью которых можно согласовать величины и размерности этих характеристик поля с соответствующими свойствами напряженности электрического поля. Следовательно, без потери общности можно определить напряженность электрического поля точечного заряда q как силу, действующую на единичный заряд, так что, согласно

Во всех известных автору системах единиц используется это определение напряженности электрического поля.

В магнитостатике взаимодействие токов и определение магнитной индукции рассматривают исходя из закона Ампера. Согласно закону Ампера, приходящаяся на единицу длины сила взаимодействия двух бесконечно длинных параллельных проводов, находящихся на расстоянии d и несущих токи равна

Здесь — коэффициент пропорциональности, аналогичный в формуле Безразмерный численный множитель 2 введен в формулу для большего удобства при определении коэффициента в дальнейшем. При связи размерностей тока и зарядов, устанавливаемого соотношением соотношение между размерностями коэффициентов и уже определено. Как легко видеть из отношение имеет размерность квадрата скорости Далее, путем сравнения величин механических сил при известных зарядах и токах можно найти значение отношения для свободного пространства.

Численная величина этого отношения оказывается очень близка к квадрату скорости света в свободном пространстве. Таким образом,

где с по величине и размерности совпадает со скоростью света .

Вектор магнитной индукции В может быть определен на основании закона взаимодействия токов Ампера как величина, пропорциональная силе, действующей на единичный ток, причем постоянный коэффициент пропорциональности а может быть выбран размерным, если это окажется удобным. Таким образом, величина (и размерность) магнитной индукции на расстоянии d от длинного прямолинейного проводника, несущего ток определяется формулой

Размерность отношения напряженности электрического поля к магнитной индукции можно найти из соотношений Легко видеть, что отношение имеет размерность

Третьим и последним соотношением, на основании которого определяются единицы и размерности электродинамических величин, является закон электромагнитной индукции Фарадея, устанавливающий связь электрических и магнитных явлений. Дифференциальная форма этого экспериментально установленного закона, согласно которому электродвижущая сила, наведенная в контуре, пропорциональна скорости изменения магнитного потока через него, имеет вид

где — коэффициент пропорциональности. Так как связь между размерностями Е и В установлена, размерность можно выразить через размерности ранее определенных величин, потребовав, чтобы оба члена в имели одинаковую размерность. В результате оказывается, что имеет размерность . В действительности, коэффициент точно равен Это было установлено в гл. 6, § 1, на основе инвариантности относительно преобразований Галилея. Но проще всего убедиться в этом, исходя из уравнений Максвелла для определенных выше полей:

Для областей без источников можно, комбинируя второе и третье уравнения, получить волновое уравнение

Скорость распространения волн, описываемых уравнением (П.9), определяется входящей в уравнение комбинацией констант. Как известно, эта скорость должна быть равна скорости света, так что

Из (П.5) и (П.10) следует равенство

определяющее связь как размерностей, так и численных величин этих коэффициентов.