§ 10. Коротковолновые плазменные колебания. Дебаевский радиус экранирования

При рассмотрении плазменных колебаний мы до сих пор не уточняли верхнего предела волновых чисел, выше которого уже неприменимо представление о коллективных колебаниях. Очевидно, одним верхним пределом для волновых чисел является Чтобы составить более точное представление о верхнем пределе, следует обратиться к соотношению (10.98) для продольных колебаний. Для длинных волн частота колебаний очень близка к сор Существенное отклонение частоты от сор имеет место только для волновых чисел, сравнимых с дебаевским волновым числом

    (10.106)

Для волновых чисел фазовая и групповая скорости продольных плазменных колебаний выражаются следующим образом:

    (10.107)

Из определения видно, что для волновых чисел фазовая скорость много больше, а групповая скорость много меньше среднеквадратичной тепловой скорости При возрастании волнового числа до фазовая скорость уменьшается от большой величины до Следовательно, при волновых числах порядка волна движется со столь малой скоростью, что имеются значительные группы электронов, движущихся быстрее волны, медленнее волны и приблизительно вместе с волной. Иными словами, фазовая скорость лежит на склоне кривой теплового распределения. То обстоятельство, что скорость волны сравнима с тепловыми скоростями электронов, и является причиной возникновения механизма передачи энергии, который приводит к разрушению колебательного движения. Этот механизм состоит в захвате частиц движущейся волной, в результате чего энергия передается от движущейся волны к частицам. Обусловленное этим затухание волны называется затуханием Ландау.

Детальный расчет затухания Ландау выходит за рамки данной книги. Однако мы можем качественно описать механизм этого

явления. На фиг. 10.13 показано распределение электронных скоростей с некоторым среднеквадратичным разбросом и максвелловским хвостом на высоких скоростях. При малых k фазовая скорость лежит далеко на хвосте распределения, и затухание пренебрежимо мало. Но если то фазовая скорость оказывается на склоне распределения, как показано на фиг. 10.13, и значительное количество электронов имеют тепловые скорости, сравнимые с

Фиг. 10.13. Распределение тепловых скоростей электронов.

При этом вокруг имеется интервал скоростей где электроны движутся столь медленно относительно волны, что они могут быть захвачены в потенциальную яму и увлечены волной, движущейся со скоростью . Если в интервале число частиц со скоростью , т. е. двигавшихся сначала медленней волны, больше числа частиц со скоростями (как показано на фиг. 10.13), то процесс захвата ведет в среднем к возрастанию энергии частиц и потере энергии волны. В этом и состоит механизм затухания Ландау. Детальный расчет показывает, что при это затухание соответствует мнимой части частоты, равной

    (10.108)

При выводе формулы (10.108) предполагается максвелловское распределение скоростей. При постоянная затухания больше значения, определяемого формулой (10.108), и быстро становится намного больше действительной части частоты (10.98).

Формула Ландау (10.108) показывает, что при продольные плазменные колебания почти не затухают. Но затухание становится существенным при (даже для мы имеем ). При волновых числах, превышающих дебаевское волновое число, затухание столь велико, что уже не имеет смысла говорить об упорядоченных колебаниях.

Можно привести другое рассмотрение, которое совершенно отлично от вышеизложенного, но дает то же самое предельное дебаевское волновое число в качестве границы коллективных колебаний. Мы знаем, что электронная плазма представляет собой систему электронов и однородного фона положительных зарядов. В мелком масштабе ее поведение должно описываться как последовательность множества двухчастичных кулоновских столкновений. Однако в больших масштабах поведение электронов становится коллективным. Если где-либо появляется локальный излишек положительных зарядов, то электроны стремятся быстро нейтрализовать его. Такой коллективный отклик на флуктуации заряда и приводит к крупномасштабным плазменным колебаниям. Но помимо этих коллективных колебаний, или, лучше сказать, благодаря этим колебаниям, коллективный отклик электронов препятствует дальнодействующему характеру кулоновского взаимодействия между частицами. Отдельный электрон можно рассматривать как флуктуацию плотности заряда. Окружающие электроны отталкиваются таким образом, что стремятся заэкранировать кулоновское поле рассматриваемого электрона, превращая кулоновское взаимодействие в короткомасштабное. Собственно этого и следовало ожидать, если учесть, что единственным источником электростатического взаимодействия являются кулоновские силы, действующие между частицами. Если исключить ту часть, которая вызывает длинноволновые коллективные плазменные колебания, то остаются короткомасштабные взаимодействия между частицами.

Нестрогий вывод описанного выше экранирующего эффекта был впервые дан Дебаем и Хюккелем в их теории электролитов. Предположим, что мы имеем плазму, электроны которой находятся в тепловом равновесии в поле с электростатическим потенциалом Ф. При этом функция их распределения пропорциональна множителю Больцмана где Н — функция Гамильтона для электронов. Поэтому пространственная плотность электронов описывается выражением

    (10.109)

Пусть пробный заряд расположенный в начале координат, вне в объем, где находятся эти электроны и однородный фон положительных ионов (с плотностью заряда ). Результирующий потенциал Ф определится уравнением Пуассона

Если предположить, что величина мала, то, линеаризуя это уравнение, мы получаем

    (10.111)

где

    (10.112)

что является другой формой записи соотношения (10.106). Уравнение (10.111) имеет сферически симметричное решение

которое показывает, что электроны перераспределяются таким образом, что кулоновское поле пробного заряда экранируется на расстоянии порядка Величина радиуса экранирования определяется соотношением между тепловой кинетической энергией и электростатической энергией. Численно величина выражается следующим образом:

    (10.114)

где Т — температура в градусах Кельвина, а — число электронов в Для типичного случая горячей плазмы с получим .

Для вырожденного электронного газа при низких температурах дебаевское волновое число заменяется волновым числом Ферми

    (10.115)

где — скорость на поверхности ферми-сферы. Такая величина радиуса экранирования может быть получена из обобщения теории Дебая — Хюккеля, данного Ферми и Томасом. Она, естественно, согласуется с дисперсионным соотношением (10.98) с учетом среднего квадрата скорости (10.99).

Радиус экранирования Дебая — Хюккеля является естественной границей между короткомасштабными парными столкновениями и крупномасштабными коллективными эффектами, такими, как колебания плазмы. К счастью, как можно показать независимо плазменные колебания с более короткими длинами волн не могут существовать из-за сильного затухания.