§ 4. Примеры распространения импульсов в диспергирующей среде

Чтобы проиллюстрировать общую теорию предыдущего параграфа и показать применимость понятия групповой скорости, рассмотрим теперь некоторый частный случай зависимости частоты от волнового числа и точно рассчитаем распространение импульса в такой среде. Но прежде чем переходить к частной модели, необходимо более детально, чем это делалось при выводе (7.26) и (7.27), сформулировать задачу с начальными условиями. Как отмечалось выше, при корректной постановке задачи с начальными условиями для волнового уравнения требуется задать начальные значения функции и ее производной по времени . Так как для получения мы условились брать действительную часть (7.26)

то легко видеть, что следующим образом выражается через начальные величины:

Рассмотрим теперь импульс, в начальный момент представляющий собой модулированную синусоидальную волну, огибающая которой является гауссовой кривой:

Для простоты предположим, что

Это означает, что в момент времени, непосредственно предшествующий моменту волна состояла из двух импульсов, каждый из которых двигался по направлению к началу координат, так что при они совместились и образовали импульс (7.38). Ясно, что в последующие моменты времени импульсы будут продолжать двигаться в противоположные стороны. Таким образом, следует ожидать, что начальное распределение (7.38) расщепится на два одинаковых волновых пакета, один из которых будет двигаться влево, а другой — вправо. Амплитуда Фурье импульса,

задаваемого соотношениями (7.38) и (7.39), имеет вид

Как мы увидим ниже, четность функции как раз и отражает наличие двух импульсов, движущихся в разные стороны от начала координат.

Чтобы рассчитать форму волны в последующие моменты времени, мы должны задать . В качестве модели, допускающей точное решение и позволяющей выявить существенные особенности дисперсии, мы выберем зависимость

здесь v — постоянная частота, постоянная длина, определяющая характерную длину волны, для которой дисперсия становится существенной. Импульс (7.38) представляет собой модулированную волну с волновым числом поэтому из приближенной теории предыдущего параграфа вытекает, что оба импульса должны двигаться с групповой скоростью

и не должны существенно изменяться по форме (если, конечно, они не являются слишком узкими).

Точное описание зависимости от времени можно получить из соотношений (7.36) и (7.40) для

Интеграл легко вычисляется, если дополнить показатели экспонент до полных квадратов. В результате получим

где член имеет тот же вид, что и первый, но с заменой на .

Выражение (7.44) описывает два импульса, распространяющихся в противоположных направлениях. Максимум амплитуды каждого импульса движется с групповой скоростью (7.42), а огибающая кривая остается по форме гауссовой. Однако ширина этой гауссовой кривой не постоянна, а растет со временем. Эффективная ширина огибающей равна

Таким образом, влияние дисперсии на импульс тем сильнее (за данный отрезок времени), чем острее его огибающая. Условием малости изменения формы является

Фиг. 7.7. Изменение формы волнового пакета при его движении. Пакет, ширина которого велика по сравнению с длиной волны искажается сравнительно мало, в то время как узкий пакет быстро расширяется, а его амплитуда уменьшается.

Конечно, для очень больших промежутков времени t ширина гауссовой кривой всегда будет линейно возрастать со временем:

но время., в течение которого происходит переход к этой асимптотической зависимости, определяется отношением Для оценки скорости расширения импульса можно сопоставить величину определяемую соотношением (7.45), с величиной На фиг. 7.7, где представлены для примера два импульса, изображены кривые положения максимумов и линии , показывающие расширение импульса со временем. В левой части фиг. 7.7 импульс содержит много длин волн и поэтому почти не расплывается. В правой части показано поведение первоначально узкого импульса, который расплывается настолько быстро, что по прошествии короткого времени его уже даже нельзя назвать импульсом.

Хотя предыдущие результаты получены при некотором специальном выборе начальной формы импульса (7.38) и дисперсионного соотношения (7.41), они имеют более общее значение. В § 3 было показано, что средней скоростью импульса является групповая скорость Расширение импульса объясняется тем, что импульсу с начальной шириной присущ разброс волновых чисел Отсюда следует, что групповая скорость, определенная для различных величин k внутри импульса, имеет разброс порядка

За время t это приводит к расширению на величину Если мы сложим квадратично начальную ширину и уширение из-за разброса групповой скорости, то получим ширину в момент времени

Мы видим, что (7.48) в точности совпадает с (7.45), если положить Выражение для показывает, что если , то узкий импульс расплывается быстро, поскольку он характеризуется широким спектром волновых чисел, и, наоборот, широкий импульс расплывается медленно. Все эти соображения непосредственно применимы и в волновой механике. Они лежат в основе принципа неопределенностей Гейзенберга. В волновой механике частота равна энергии, деленной на постоянную Планка, а волновое число — механическому импульсу, также деленному на постоянную Планка.

Задача о движении волновых пакетов в диссипативной диспергирующей среде является довольно сложной. Некоторые частные случаи поддаются аналитическому описанию, но получающимся аналитическим выражениям трудно дать физическую интерпретацию. Волновые пакеты в такой среде затухают и существенно искажаются при распространении. Мы отсылаем читателя к книге Стрэттона [106], где рассмотрен этот вопрос и приведены примеры численных расчетов.