Глаза 16. ПОЛЯ МУЛЬТИПОЛЕЙ

В гл. 3 и 4, посвященных электростатике, при исследовании задач с определенными свойствами симметрии относительно начала координат широко использовалось разложение потенциала по сферическим гармоникам. Этот метод полезен не только при решении граничных задач в сферической системе координат, он вообще дает систематический способ представления потенциала в виде разложения по мультипольным моментам плотности заряда при заданных источниках. Для электромагнитных полей, зависящих от времени, разложение по скалярным сферическим гармоникам можно обобщить, используя векторные сферические волны. Эти векторные сферические волны удобно применять при решении краевых задач электромагнитного поля, обладающих сферической симметрией, и при рассмотрении мультипольного излучения ограниченного распределения источников. Простейшие излучающие мультипольные системы уже рассматривались в гл. 9. В настоящей главе будет дано систематическое изложение этого вопроса.

§ 1. Собственные функции скалярного волнового уравнения

Исследование векторной волновой задачи со сферической симметрией мы начнем с решения скалярного волнового уравнения. Скалярное поле удовлетворяющее однородному волновому уравнению

можно разложить в интеграл Фурье по времени

где каждая фурье-компонента удовлетворяет уравнению Гельмгольца

. В задачах, обладающих симметрией относительно некоторого центра, удобно использовать фундаментальную систему решений в сферических координатах. В гл. 3 мы уже приводили оператор Лапласа в сферических координатах [см. (3.1)]. Разделяя переменные, зависящие от угла и радиуса, получаем известное разложение

где сферические гармоники определены соотношением (3.53). Радиальные функции удовлетворяют радиальному уравнению

С помощью подстановки

можно привести уравнение (16.5) к виду

Это — уравнение Бесселя (3.75) порядка Поэтому линейно независимые решения для имеют вид

Обычно вводят так называемые сферические функции Бесселя и Ханкеля, обозначаемые через и определяемые следующими выражениями:

Для действительных функции комплексно сопряжены. Как можно показать из разложений (3.82) и (3.83), имеют

место соотношения

    (16.10)

Явные выражения сферических функций для нескольких низших, значений I имеют вид

Из приближенных представлений (3.89) — (3.91) следует, что при малых значениях аргумента

    (16.12)

где При больших аргументах имеем

    (16.13)

Сферические функции Бесселя удовлетворяют следующим рекуррентным формулам:

    (16.14)

где любая из функций Определитель Вронского для пары различных сферических функций Бесселя имеет вид

    (16.15)

Общее решение уравнения Гельмгольца (16.3) в сферических координатах можно записать как

    (16.16)

где коэффициенты определяются граничными условиями.

В качестве примера найдем разложение по сферическим гармоникам функции Грина которая соответствует расходящейся волне и удовлетворяет во всем пространстве уравнению

    (16.17)

Как было показано в гл. 9, эта функция Гринд имеет вид

    (16.18)

Разложение функции по сферическим гармоникам можно получить совершенно аналогично тому, как это было сделано при решении уравнения Пуассона в гл. 3, § 8 и 10 [см., в частности» выражения (3.117) и далее и (3.138) и далее]. Подставляя в уравнение (16.17) разложение

    (16.19)

получаем следующее уравнение для

    (16.20)

Решение этого уравнения, ограниченное вблизи начала координат и представляющее расходящиеся волны на бесконечности, имеет вид

    (16.21)

Полагая получаем правильное значение скачка производной. Окончательно приходим к следующему разложению для функции Грина:

    (16.22)

До сих пор мы интересовались главным образом радиальными функциями, соответствующими скалярному волновому уравнению. Чтобы ввести некоторые понятия, используемые при решении векторного волнового уравнения, вернемся к рассмотрению угловых функций. Угловыми собственными функциями являются сферические гармоники удовлетворяющие уравнению

    (16.23)

Как известно из квантовой механики, это уравнение можно представить в операторном виде

    (16.24)

Дифференциальный оператор где

    (16.25)

совпадает с оператором орбитального момента количества движения в волновой механике.

Составляющие оператора L удобно выразить через величины

    (16.26)

Заметим, что оператор L действует лишь на угловые переменные и не зависит от . Из определения (16.25) очевидно, что справедливо операторное уравнение

    (16.27)

Как легко проверить с помощью явных выражений (16.26), оператор действительно эквивалентен оператору в левой части уравнения (16.23).

Используя (16.26) и рекуррентные формулы для можно установить следующие полезные соотношения:

Наконец, приведем еще следующие операторные уравнения, выражающие коммутативные свойства :

    (16.29)

где