ЗАДАЧИ

1.1. С помощью теоремы Гаусса доказать следующие утверждения:

а) Любой заряд, вносимый на проводник, может располагаться лишь на его поверхности. (По определению, в проводнике заряды могут свободно перемещаться под действием электрического поля.)

б) Замкнутый полый проводник экранирует внутренний объем от действия зарядов, расположенных снаружи, но не экранирует внешнего объема от действия зарядов, расположенных внутри.

в) Электрическое поле на поверхности проводника всегда нормально этой поверхности и равно где а — поверхностная плотность заряда.

1.2. Две бесконечные проводящие плоские пластины постоянной толщины и помещены параллельно друг другу на расстоянии L (между соседними поверхностями). Полный заряд на единицу площади (т е. сумма зарядов на обеих сторонах пластины) равен для первой пластины и для второй. Используя симметрию задачи и теорему Гаусса, показать, что

а) поверхностные плотности зарядов на внутренних поверхностях пластин равны между собой по величине и противоположны по знаку;

б) поверхностные плотности на внешних поверхностях пластин одинаковы;

в) значения плотностей зарядов и обусловливаемых ими полей не зависят от и L. Найти явное выражение поверхностных плотностей и полей через и рассмотреть частный случай

1.3. Даны три заряженные сферы радиусом а. Одна из них проводящая, другая однородно заряжена по всему объему, а на третьей заряд распределен сферически симметрично, причем плотность заряда меняется как Полный заряд каждой сферы равен Q. Пользуясь теоремой Гаусса, найти электрическое поле внутри и вне каждой сферы. Построить графики зависимости поля от радиуса для первых двух случаев и для третьего случая при

1.4. Усредненное (по времени) значение потенциала для нейтрального атома водорода описывается формулой

где — заряд электрона, а Найти распределение зарядов (непрерывное и дискретное), обеспечивающее такой вид потенциала, и пояснить его физический смысл.

1.5. Простейший конденсатор представляет собой два рядом расположенных изолированных проводника. Если на проводники поместить равные, но противоположные по знаку заряды, то между ними устанавливается определенная разность потенциалов. Отношение величины заряда на одном из проводников к величине разности потенциалов называется емкостью конденсатора (в электростатической системе единиц емкость измеряется в сантиметрах). Используя теорему Гаусса, рассчитать емкость для случаев, когда имеются следующие системы проводников:

а) две большие плоские пластины площадью А на небольшом расстоянии d друг от друга;

б) две концентрические проводящие сферы радиусами а и b );

в) два концентрических проводящих цилиндра, длина которых L много больше их радиусов а и b (b а).

1.6. Два длинных цилиндрических проводника радиусами и расположены параллельно друг другу на расстоянии которое много больше их радиуса. Показать, что емкость единицы длины приблизительно равна

где а — среднее геометрическое обоих радиусов.

Какого диаметра проволока потребуется для двухпроводной линии передачи с погонной емкостью если расстояние между проводами равно 0,5 см? 1,5 см? 5,0 см?

1.7. а) Для трех вариантов конденсатора, рассмотренных в задаче 1.5, рассчитать полную электростатическую энергию и выразить ее через заряды (Q и —Q) на проводниках и через разность потенциалов между ними.

б) Построить графики зависимости плотности энергии от соответствующей линейной координаты для всех трех случаев.

1.8. Рассчитать силу притяжения проводников в плоском конденсаторе (задача 1.5, п. «а») и цилиндрическом конденсаторе (задача 1.6) в случае:

а) заданных зарядов на обкладках конденсатора,

б) заданной разности потенциалов между обкладками.

1.9. Доказать теорему о среднем значении: значение электростатического потенциала в точке объема, не содержащего зарядов, равно среднему значению потенциала на поверхности любой сферы с центром в этой точке.

1.10. С помощью теоремы Гаусса доказать, что на искривленной поверхности заряженного проводника нормальная производная электрического поля удовлетворяет соотношению

где — главные радиусы кривизны поверхности.

1.11. Доказать теорему взаимности Грина: если Ф— потенциал, обусловленный объемным распределением заряда Q и поверхностным распределением а, а Ф— потенциал, обусловленный другим объемным распределением q и поверхностным распределением то справедливо соотношение

1.12. Доказать теорему Томсона: при фиксированном положении проводящих поверхностей и заданном полном заряде на каждой поверхности электростатическая энергия поля в области, ограниченной этими поверхностями, минимальна для такого расположения зарядов, при котором каждая поверхность является эквипотенциальной.

1.13. Доказать следующую теорему: при фиксированном положении проводящих поверхностей и заданном полном заряде на каждой из них внесение незаряженного изолированного проводника в область, ограниченную этими поверхностями, снижает электростатическую энергию системы.