§ 5. Прецессия Томаса

В 1926 г. Уленбек и Гаудсмит ввели понятие электронного спина и показали, что если положить -фактор электрона равным 2, то этим можно объяснить аномальный эффект Зеемана и наличие мультиплетного расщепления. Однако при этом возникала трудность, заключающаяся в том, что наблюдаемые интервалы тонкой структуры оказывались вдвое меньше теоретически предсказываемых. Если же выбрать -фактор равным единице, то интервалы тонкой структуры будут получаться правильными, но эффект Зеемана станет нормальным. Полное объяснение спина, включая правильный -фактор и правильное описание тонкой структуры, дала только релятивистская теория электрона Дирака. Однако, исходя лишь из эмпирического значения спинового момента количества движения и -фактора, равного 2, Томас показал, что причиной расхождения является релятивистский кинематический эффект, который при корректном учете дает как аномальный эффект Зеемана,

так и правильную тонкую структуру линий. Так называемая томасовская прецессия позволяет также качественно объяснить спин-орбитальное взаимодействие в атомном ядре и объясняет причину «обращения» дублетов в ядре.

Гипотеза Уленбека — Гаудсмита заключается в том, что электрон обладает спиновым моментом количества движения S (который вдоль произвольной оси принимает квантованные значения ) и магнитным моментом связанным с S соотношением

Обычное соотношение между магнитным моментом и моментом количества движения дается формулой (5.64). Соотношение (11.39) показывает, что электрон имеет -фактор, равный 2. Предположим, что электрон движется со скоростью v во внешних полях Е и В. Тогда уравнение изменения момента количества движения в системе координат, где электрон покоится, будет

    (11.40)

где В — магнитное поле в этой системе. В § 10 будет показано, что магнитное поле в системе координат, движущейся вместе с электроном, дается выражением

    (11.41)

где отброшены члены порядка Следовательно, согласно (11.40),

    (11.42)

Уравнение (11.42) соответствует энергии взаимодействия электронного спина с полем

    (11.43)

Внутри атома силу действия электрического поля еЕ можно приближенно представить как отрицательный градиент сферически симметричной средней потенциальной энергии Для одноэлектронного атома это представление является, конечно, точным. Таким образом,

    (11.44)

и энергия взаимодействия спина с полем записывается в виде

    (11.45)

где орбитальный момент количества движения электрона. Энергия взаимодействия (11.45) дает правильный аномальный эффект Зеемана, но соответствует удвоенному спин-орбита ьному взаимодействию.

Ошибка в (11.45) обусловлена некорректностью уравнения движения электронного спина (11.40). Левая часть уравнения (11.40) дает скорость изменения спина в системе координат, где электрон покоится. Она равна приложенному моменту В только в том случае, когда система, в которой покоится электрон, не является вращающейся системой координат. Если же координатная система вращается, то, как впервые отметил Томас, скорость изменения во времени произвольного вектора G в этой системе описывается уравнением

где — угловая скорость вращения, найденная Томасом. В применении к электронному спину формула (11.46) приводит к следующему уравнению движения:

Соответствующая энергия взаимодействия имеет вид

    (11.48)

где U — прежнее выражение (11.45) для энергии взаимодействия.

Томасовская прецессия с частотой возникает из-за ускорения электрона при его движении по атомной орбите. На фиг. 11.9 показан электрон, который в момент времени t находится в точке 1 и имеет мгновенную скорость v, а через бесконечно малый интервал времени попадает в точку где его скорость равна Приращение скорости связано с ускорением электрона а соотношением . В момент t система координат К, в которой покоится электрон, и лабораторная система К связаны преобразованием Лоренца, причем относительная скорость систем равна v. Ко времени система координат, в которой покоится электрон, изменится и станет системой связанной с К преобразованием Лоренца, где относительная скорость равна Возникает вопрос, как связаны координатные системы К" и К, или, иными словами, каково поведение во времени осей системы координат, в которой покоится электрон? С точки зрения лабораторной системы электрон получает за время бесконечно малое приращение скорости Следовательно, мы могли бы ожидать, что К" и К

связаны простым бесконечно малым преобразованием Лоренца. Если бы это было так, то выражение (11.45) было бы правильным в том виде, как оно написано. В действительности эта связь отличается от простого преобразования Лоренца.

Фиг. 11.9.

Преобразование от К к К" эквивалентно двум последовательным преобразованиям Лоренца, одному для скорости —v, а другому для скорости

    (11.49)

Два последовательных преобразования Лоренца, вообще говоря, эквивалентны одному преобразованию Лоренца плюс поворот. Применяя дважды общую формулу (11.21), можно непосредственно убедиться, что временные переменные в К" и К связаны соотношением

    (11.50)

которое справедливо с точностью до первого порядка по Это соотношение показывает, что прямое преобразование от К к К” содержит бесконечно малое преобразование Лоренца для скорости

Соответствующее преобразование координат имеет вид

    (11.52)

При повороте осей координат на бесконечно малый угол координаты связаны соотношением . Сравнение этого соотношения с (11.52) показывает, что координатные оси К" повернуты относительно осей К на угол

    (11.53)

Отсюда следует, что координатные оси в системе, связанной с электроном, прецессируют с угловой скоростью

где последнее выражение справедливо при Подчеркивая еще раз чисто кинематическое происхождение томасовской прецессии, отметим, что мы ничего не предполагали о причине ускорения. Если существует составляющая ускорения, перпендикулярная скорости v, то наряду с другими эффектами, как, например, прецессия магнитного момента в магнитном поле, имеет место и томасовская прецессия.

Электрон в атоме ускоряется экранированным кулоновским полем (11.44). Поэтому томасовская угловая скорость описывается соотношением

Как видно из (11.48) и (11.45), добавочный вклад в энергию, обусловленный прецессией Томаса, уменьшает спин-орбитальную связь в 2 раза (как иногда говорят, на множитель Томаса , что приводит к правильному выражению для энергии спин-орбитального взаимодействия атомарного электрона

    (11.56)

Нуклоны в атомном ядре испытывают сильные ускорения, обусловленные специфическими ядерными силами. Электромагнитные силы здесь относительно слабы. Поэтому мы можем приближенно представлять себе, что нуклоны движутся независимо под действием короткодействующих сил притяжения в сферически симметричной потенциальной яме При этом каждый нуклон испытывает, кроме того, спин-орбитальное взаимодействие, определяемое соотношением (11.48). В пренебрежении влиянием электромагнитных сил

    (11.57)

где ускорение, входящее в определяется потенциалом Выражение для получается из (11.55) простой заменой V на

Таким образом, приближенное выражение для энергии спин-орбитального взаимодействия в ядре имеет вид

При сопоставлении (11.58) с формулой (11.56) учтем, что как У, так и VN соответствуют силам притяжения (но VN много больше); следовательно, знаки спин-орбитальных энергий противоположны. Это означает, что отдельные уровни частиц в ядре образуют «обращенные» дублеты. При разумной зависимости выражение (11.58) находится в качественном согласии с наблюдаемым спин-орбитальным расщеплением уровней в ядре.