§ 10. Преобразование электромагнитного поля

Поскольку поля Е и В являются элементами тензора электромагнитного поля их трансформационные свойства определяются преобразованием

    (11.113)

Используя преобразование (11.75) от системы К к системе К, движущейся со скоростью v вдоль оси мы получаем следующие формулы преобразования для составляющих полей:

Обратные преобразования получаются из (11.114) перестановкой штрихованных величин с нештрихованными и заменой на .

При общем преобразовании Лоренца от системы К к системе движущейся со скоростью v относительно К, поля преобразуются, очевидно, следующим образом:

Здесь индексы означают параллельность и перпендикулярность к скорости v. Преобразование (11.115) показывает, что Е и В не являются независимыми величинами. Поэтому чисто электрическое или чисто магнитное поле в одной системе координат представляется совокупностью электрического и магнитного полей в другой системе. При этом имеются, конечно, некоторые ограничения (см. задачу 11.10), так что, например, чисто электростатическое поле в одной системе координат нельзя преобразовать в чисто магнитостатическое поле в другой системе. Однако электрическое и магнитное поля полностью взаимосвязаны, и более правильно говорить как о физической реальности об электромагнитном поле а не о полях Е и В по отдельности.

В качестве примера преобразования электромагнитного поля рассмотрим поля в системе К, создаваемые точечным зарядом движущимся прямолинейно со скоростью v. Этот заряд покоится в системе связанной с ним; преобразование полей из системы К в систему К дается формулами, обратными к (11.114) или (11.115). Предположим, что заряд движется в положительном направлении оси и проходит на расстоянии b от наблюдателя. Выбранные оси координат показаны на фиг. 11.13. Наблюдатель находится в точке Р. При начала координат совмещены, а заряд q находится на наименьшем расстоянии от наблюдателя. В системе К точка Р, в которой определяются поля, имеет координаты и находится на расстоянии от q. Нас интересует выражение через координаты в системе К. Единственной координатой, которую необходимо преобразовывать, является время так как координата точки Р в системе К равна нулю. В системе в которой заряд покоится, электрическое и магнитное поля запишутся в виде

    (11.116)

Отличные от нуля составляющие поля выражаются следующим образом через координаты системы К:

    (11.117)

Теперь с помощью формул, обратных к (11.114), можно найти поля в системе К

Все другие составляющие поля равны нулю.

Интересно поведение полей при скорости заряда, приближающейся к скорости света. Прежде всего имеется магнитное поле, направленное по

Фиг. 11.13. Оси координат, используемые при рассмотрении движения частицы. Частица с зарядом q имеет постоянную скорость v и проходит точку наблюдения Р с прицельным параметром b.

При оно становится почти равным поперечному электрическому полю Е Для нерелятивистских скоростей, когда , магнитное поле равно

что совпадает с выражением Ампера и Био — Савара для магнитного поля движущегося заряда. Его можно, очевидно, получить и непосредственно из преобразования, обратного к (11.115). При больших скоростях, когда максимальное поперечное электрическое поле Е (при становится в 7 раз больше своего нерелятивистского значения. Но в этом предельном случае уменьшается промежуток времени, в течение которого существует заметная напряженность поля в точке Р. Интервал времени, в течение

которого поля имеют заметную величину, очевидно, приближенно равен

Таким образом, при возрастании у максимальные значения полей растут пропорционально у, а их длительность убывает обратно пропорционально у. Интеграл от поля по времени, умноженный на v, не зависит от скорости.

Фиг. 11.14. Изменение полей прямолинейно движущейся заряженной частицы во времени.

На фиг. 11.14 показано поведение поперечных электрического и магнитного полей и продольного электрического поля. При наблюдатель в точке Р видит почти равные и взаимно перпендикулярные поперечные электрическое и магнитное поля. Они неотличимы от полей импульса плоскополяризованного излучения, распространяющегося вдоль оси . Добавочное продольное электрическое поле быстро меняет свой знак, и его интеграл по времени равен нулю. Если регистрирующий прибор наблюдателя имеет некоторую инерцию, то он не обнаружит это продольное поле. Следовательно, практически наблюдатель воспримет только поперечные поля. Эквивалентность полей релятивистской заряженной частицы и полей импульса электромагнитного излучения будет использована в гл. 15.

Из инвариантности волнового уравнения относительно преобразования Лоренца следует, что плоская электромагнитная волна в координатной системе К представляется также плоской волной

в другой координатной системе К, движущейся с постоянной скоростью относительно . В системе К плоская волна описывается полями

    (11.121)

где — соответствующие постоянные коэффициенты, а к и со — волновой вектор и частота волны. В системе координат К эта плоская волна будет иметь вид

    (11.122)

где — опять постоянные коэффициенты, а и — волновой вектор и частота в системе . В соответствии с (11.113) эти поля связаны соотношениями

    (11.123)

Чтобы эти соотношения удовлетворялись в любой точке пространства — времени, фазовые множители в обеих частях равенства должны быть одинаковыми

    (11.124)

Инвариантность фазы означает, что к и со являются соответственно пространственной и временной составляющими -вектора

    (11.125)

При этом инвариантность фазы означает инвариантность скалярного произведения двух -векторов. Как показано в § 4, из (11.125) вытекает релятивистская формула для допплеровского смещения,