ЗАДАЧИ

5.1. Исходя из дифференциального выражения

для магнитной индукции, создаваемой элементом тока показать, что для замкнутого контура, несущего ток магнитная индукция в точке наблюдения Р выражается формулой

где Q — телесный угол, под которым контур виден из точки Р. (Это одна из возможных форм закона Ампера для контуров с током.)

5.2. а) Соленоид имеет N витков на единицу длины; ток через них: равен Показать, что плотность магнитного потока на оси приближенно выражается формулой

где углы определены на фиг. 5.16.

б) Показать, что для длинного соленоида длиной L и радиусом а магнитное поле вблизи оси и в окрестности центра соленоида в основном параллельно

оси, но имеет малую радиальную компоненту, равную

Это выражение справедливо с точностью до величин при Координата отсчитывается от центра соленоида.

Фиг. 5.16.

в) Показать, что на конце соленоида магнитное поле вблизи оси имеет составляющие

5.3. В цилиндрическом проводнике радиусом а просверлен круглый канал радиусом b, ось которого параллельна оси цилиндра и расположена от нее на расстоянии По металлической части цилиндра течет однородный ток, направленный вдоль оси. Используя закон Ампера и принцип суперпозиции, найти величину и направление магнитного поля в канале.

5.4. Круглый виток с током расположен в плоскости а его центр совпадает с началом координат.

а) Показать, что магнитное поле можно описать векторным потенциалом, имеющим лишь одну составляющую

где — соответственно меньшая и большая из величин Q и а.

б) Показать, что векторный потенциал может быть также представлен в виде

в) Написать интегральные выражения для составляющих магнитного поля, используя векторные потенциалы, приведенные в п. Получить явное выражение для составляющих В на оси путем вычисления соответствующих интегралов.

5.5. Два круглых витка с общим центром и радиусами а и b по которым текут соответственно токи и Г, расположены таким образом, что угол между их плоскостями равен а. Показать, что на каждый виток действует вращающий момент вокруг линии пересечения плоскостей

витков, равный

где — присоединенные функции Лежандра. Определить направление вращающего момента, считая угол а острым, а токи имеющими как одинаковое, так и противоположное направление.

5.6. Сфера с равномерно распределенным поверхностным зарядом вращается вокруг своего диаметра а с постоянной угловой скоростью со. Найти векторный потенциал и магнитное поле внутри и вне сферы.

5.7. Длинный полый круглый цилиндр с внутренним радиусом а и внешним радиусом b, имеющий магнитную проницаемость помещают в область с первоначально однородным полем перпендикулярно этому полю. Определить магнитное поле во всем пространстве и построить график зависимости логарифма отношения величины В на оси цилиндра к от для и 0,1. Краевыми эффектами пренебречь.

5.8. В среде с магнитной проницаемостью, равной единице, примыкающей к полупространству с магнитной проницаемостью задано некоторое распределение токов

а) Показать, что магнитное поле в области можно определить, заменяя магнитную среду в области токами-изображениями J, имеющими составляющие

б) Показать, что] магнитная индукция в области соответствует распределению токов в среде с единичной магнитной проницаемостью.

5.9. Круглый виток радиусом а с током расположен в свободном пространстве, а его центр находится на расстоянии d от границы полупространства с магнитной проницаемостью Определить силы, действующие на виток в случаях, когда:

а) плоскость витка параллельна границе магнетика,

б) плоскость витка перпендикулярна границе магнетика,

в) найти предельные выражения для сил при Можно ли получить эти предельные величины с помощью какого-либо простого прямого метода?

5.10. Прямой круглый цилиндр длиной L и радиусом а изготовлен из «магнитно твердого» материала. Он имеет постоянную намагниченность однородную по объему и параллельную его оси.

а) Определить магнитное поле Н и магнитную индукцию В во всех точках на оси цилиндра как внутри, так и вне него.

б) Построить график зависимости от z отношений на оси для

5.11. а) Исходя из выражения (5.12) и учитывая, что намагниченность М эквивалентна распределению тока с плотностью , показать, что в отсутствие макроскопических токов на тело с намагниченностью М действует сила

где — магнитная индукция, обусловленная всеми токами, кроме

б) Показать, что выражение для силы можно представить также в виде

где Н — полное магнитное поле, включающее и поле, создаваемое самим намагниченным телом.

5.12. Пусть магнитостатическое поле создается только заданным распределением постоянной намагниченности.

а) Показать, что

если интеграл берется по всему пространству.

б) Используя выражение (5.73) для потенциальной энергии диполя во внешнем поле, показать, что магнитостатическую энергию для непрерывного распределения постоянной намагниченности можно записать в виде

Здесь опущена аддитивная постоянная, которая не зависит от ориентации и положения отдельных намагниченных тел.

5.13. Показать, что длинный прямой стержень с постоянным поперечным сечением А и однородной продольной намагниченностью М, приставленный торцом к плоской поверхности тела с бесконечной магнитной проницаемостью, притягивается к нему с силой, приближенно равной

5.14. Прямой круглый цилиндр длиной L и радиусом а имеет однородную продольную намагниченность М.

а) Показать, что, будучи приставлен торцом к плоской поверхности с бесконечной магнитной проницаемостью, он притягивается к ней с силой

где

б) Найти предельное выражение для этой силы при .