§ 5. Сферический проводник в однородном электрическом поле

В качестве последнего примера применения метода изображений рассмотрим проводящую сферу радиусом а в однородном электрическом поле Можно считать, что однородное поле создано соответствующими положительным и отрицательным зарядами на бесконечности. Если, например, два заряда +Q и —Q находятся в точках как показано на фиг. 2.6, а, то в близкой к началу координат области, размеры которой много меньше электрическое поле имеет почти постоянное значение и приблизительно параллельно оси z. В пределе, когда при , это приближение становится совершенно точным.

Пусть теперь в начало координат помещена проводящая сфера радиусом а (фиг. 2.6, б); при этом поле будет определяться реальными зарядами ±Q, находящимися на расстоянии и зарядами-изображениями, соответственно равными и расположенными в точках Полный потенциал равен

где введены сферические координаты точки наблюдения. В первых двух слагаемых, учитывая, что, по предположению, R много больше , можно разложить корень по степеням вынеся предварительно за скобки

Фиг. 2.6. Применение метода изображений к проводящей сфере в однородном электрическом поле.

Аналогично в третьем и четвертом членах можно произвести разложение после вынесения . В результате получим

Здесь не выписаны члены, обращающиеся в нуль при . В пределе при отношение переходит в величину приложенного электрического поля так что потенциал равен

Первое слагаемое равно, очевидно, просто потенциалу однородного поля который можно было бы написать сразу вместо первых двух слагаемых в (2.12). Второе слагаемое описывает потенциал, создаваемый индуцированными поверхностными зарядами, или, что то же самое, потенциал, создаваемый зарядами-изображениями. Заметим, что заряды-изображения образуют

диполь с моментом Поверхностная плотность индуцируемого заряда равна

Заметим, что интеграл от поверхностной плотности равен нулю, так что безразлично, считаем ли мы сферу заземленной или изолированной.