§ 9. Законы сохранения для системы заряженных частиц и электромагнитных полей

Из выражений (6.81) (6.82) для теоремы Пойнтинга видна существенная роль понятия энергии электромагнитного поля. Работа , совершаемая полем в единичном объеме за единицу времени, определяет количество электромагнитной энергии, перешедшей в механическуюили тепловую. Так как материя состоит в конце концов из заряженных частиц (электронов и атомных ядер), мы можем считать, что скорость передачи энергии является скоростью возрастания энергии заряженных частиц в единице объема. Таким образом, мы можем интерпретировать теорему Пойнтинга для микроскопических полей как выражение закона сохранения энергии для комбинированной системы частиц и полей. Если мы обозначим общую энергию частиц внутри объема V через Емех и предположим, что частицы не выходят из этого объема, то, очевидно,

    (6.84)

Таким образом, теорема Пойнтинга выражает закон сохранения энергии для комбинированной системы

    (6.85)

где полная энергия поля внутри V равна

Аналогично можно рассмотреть и закон сохранения импульса. Мы знаем, что сила, действующая на заряд q во внешнем поле Е, равна Из основного соотношения (5.12) для сил, действующих на токи, мы можем заключить, что внешнее магнитное поле В действует на заряд q, движущийся со скоростью v, с силой . Отсюда полная сила, с которой электромагнитное поле действует на заряженную частицу, равна

Она называется силой Лоренца. Мы вывели выражение (6.87) из соотношений для постоянных полей, но оно экспериментально подтверждено для произвольных полей и для частиц с произвольно большими скоростями.

Согласно второму закону Ньютона, скорость изменения импульса частицы равна

Если обозначить сумму импульсов всех частиц в объеме V через то мы можем написать

Для удобства вычислений мы заменили сумму по частицам на интеграл по плотностям заряда и тока. Дискретный характер распределения зарядов можно восстановить в любой момент, вводя -функцию аналогично гл. 1, § 2. Так же как и при выводе теоремы Пойнтинга, мы исключим q и J из (6.89) с помощью уравнений Максвелла:

Отметим, что в (6.90) входят Е и В, а не Н и D. Это обусловлено тем, что, как уже указывалось выше, мы отнесли энергию зарядов к механической части энергии системы и поэтому пользуемся микроскопическими уравнениями, которые содержат только Е и В. В следующем параграфе будут сделаны некоторые замечания об особенностях подхода, при котором энергия и импульс отдельных частиц, а именно связанных атомов, включаются в «полевую» энергию и импульс через диэлектрическую и магнитную проницаемости (см. также задачу 6.8).

Подставляя (6.90) в (6.89), представим подынтегральное выражение в виде

Воспользуемся соотношением

и добавим в скобках в (6.91) член тогда

Для скорости изменения механического импульса можно теперь написать вместо (6.89) соотношение

Естественно отождествить объемный интеграл, стоящий в левой части равенства, с полным электромагнитным импульсом в объеме V:

Подынтегральное выражение можно интерпретировать как плотность электромагнитного импульса. Заметим, что плотность импульса пропорциональна плотности потока энергии S с коэффициентом пропорциональности

Чтобы окончательно убедиться в том, что объемный интеграл от можно отождествить с электромагнитным импульсом и представить (6.93) в форме закона сохранения импульса, мы должны преобразовать объемный интеграл в правой части (6.93) в поверхностный интеграл от нормальной составляющей некоторой величины, которую можно интерпретировать как поток импульса.

Подынтегральное выражение в (6.93), очевидно, имеет векторный характер. Поэтому если его можно представить как дивергенцию некоторой величины, то эта величина должна быть тензором второго ранга. Вместо того чтобы перейти к прямоугольным декартовым составляющим импульса, можно рассматривать тензоры, оставаясь в рамках векторных операций, если ввести соответствующие диадные обозначения. Если обозначить трехмерный тензор через а единичные базисные векторы вдоль координатных осей — через то в диадном обозначении тензор

будет иметь вид

Стоящий слева от единичный вектор может образовывать скалярные или векторные произведения только при умножении слева, вектор, стоящий справа, — только при умножении справа. При заданной диаде компоненты тензора определяются как скалярные произведения

Обозначим через I диаду, соответствующую единичному тензору второго ранга:

Скалярное произведение произвольного вектора или векторного оператора на I слева или справа равно этому же вектору.

После этих беглых замечаний о свойствах диад вернемся теперь к векторным преобразованиям, необходимым для приведения объемного интеграла в правой части (6.93) к поверхностному. Используя векторное тождество

мы можем записать члены, содержащие В, в виде

Последнее выражение можно представить в виде дивергенции от диады

    (6.99)

Аналогично преобразуются члены, содержащие электрическое поле в (6.93). Следовательно, закон сохранения импульса принимает вид

Тензор-диада Т, называемый максвелловским тензором натяжений, равен

    (6.101)

Элементы этого тензора равны

    (6.102)

Очевидно, в уравнении (6.100) представляет собой нормальный к поверхности поток импульса через единичную площадь из объема V сквозь поверхность S. Иными словами, — это сила, действующая на единичную площадку поверхности S. Это соотношение можно использовать для расчета сил, действующих на материальные тела в электромагнитном поле, если окружить эти тела граничной поверхностью S и подсчитать полную действующую на поверхность силу, определяемую правой частью уравнения (6.100).

Сохранение момента количества движения комбинированной системы частиц и полей можно рассмотреть таким же образом, как и сохранение энергии и импульса. Соответствующие расчеты предлагается выполнить читателю (см. задачу 6.9).