§ 2. Точенный заряд вблизи заземленного сферического проводника

Для иллюстрации метода изображений рассмотрим задачу о поле точечного заряда q, расположенного в точке у вблизи сферического заземленного проводника радиусом а с центром в начале

координат (фиг. 2.2). Нужно найти потенциал удовлетворяющий условию при Из симметрии задачи ясно, что заряд-изображение q (предполагается, что достаточно одного заряда-изображения) должен быть расположен на прямой, соединяющей начало координат с зарядом q.

Фиг. 2.2. Заряд вблизи сферического проводника радиусом а и изображение этого заряда

Если заряд q находится вне сферы, то точка изображения у должна быть внутри сферы. Потенциал поля, создаваемого зарядами q и равен

Мы должны попытаться подобрать q и так, чтобы этот потенциал обращался в нуль при Обозначив через единичный вектор в направлении а через единичный вектор в направлении у, представим Ф в виде

Вынося за скобки в первом слагаемом а во втором у и полагая получаем

Из (2.3) следует, что если положить

то при потенциал Ф равен нулю для всех значений . Таким образом, величина и положение заряда-изображения определяются соотношениями

Заметим, что по мере приближения заряда q к поверхности сферы величина заряда-изображения становится все больше и он все больше удаляется от центра сферы навстречу заряду q. Когда заряд q находится у поверхности сферы, его изображение равно ему по величине и противоположно по знаку и расположено тоже у самой поверхности сферы.

Фиг. 2.3. Распределение поверхностной плотности заряда а на заземленной сфере радиусом а, индуцированное точечным зарядом q, расположенным на расстоянии у от центра сферы.

Приведены кривые для двух значений у. По оси абсцисс отложен угол у между радиусами-векторами, проведенными из центра сферы к заряду и к точке наблюдения.

Найдя заряд-изображение, мы можем вернуться к первоначальной задаче о заряде q вне заземленной проводящей сферы. Истинную плотность зарядов на поверхности сферы можно найти по нормальной производной потенциала на поверхности

здесь у — угол между х и у. Зависимость поверхностной плотности (отнесенной ) от у для двух значений приведена на фиг. 2.3. Как видно из кривых, заряд концентрируется вблизи направления на точечный заряд q, особенно в случае Непосредственным интегрированием легко убедиться, что полный индуцированный заряд на сфере равен по величине заряду-изображению, как и должно быть согласно теореме Гаусса.

Силу, действующую на заряд q, можно определять различными способами. Проще всего непосредственно найти силу взаимодействия

заряда q с его изображением q. Расстояние между ними равно так что сила притяжения, согласно закону Кулона, равна

На далеких расстояниях эта сила убывает обратно пропорционально кубу расстояния, но вблизи поверхности сферы она меняется обратно пропорционально квадрату расстояния от поверхности сферы.

Фиг. 2.4.

Силу, действующую на заряд q, можно также найти, вычислив полную силу, действующую на поверхность сферы. На каждый элемент поверхности действует сила (фиг. 2.4), где а определяется соотношением (2.5). Из симметрии ясно, что полная сила определяется лишь составляющей, параллельной радиусу-вектору, проведенному из центра сферы к заряду q. Таким образом, полная сила, действующая на сферу (равная по величине и противоположная по направлению силе, действующей на заряд q), равна интегралу

Выполняя интегрирование, непосредственно получаем (2.6).

До сих пор мы предполагали, что точечный заряд q находится вне сферы. Однако все приведенные результаты справедливы и для случая, когда точечный заряд q находится внутри сферы. В этом случае нужно лишь изменить знак на обратный в выражении для поверхностной плотности заряда (2.5), поскольку внешняя нормаль к проводнику направлена теперь к центру сферы. Мы предоставляем читателю написать все формулы для этого случая с учетом того, что теперь Угловое распределение поверхностного заряда аналогично приведенному на фиг. 2.3, но полный наведенный заряд равен, конечно, —q независимо от у.