§ 4. Дифференциальная форма теоремы Гаусса

Теорему Гаусса можно считать интегральной формулировкой закона электростатики. Применяя теорему Гаусса—Остроградского из векторного анализа, можно получить соответствующее дифференциальное соотношение, т. е. дифференциальное уравнение для поля. Теорема Гаусса — Остроградского («теорема о дивергенции») гласит, что для любого векторного поля определенного в объеме У, окруженном поверхностью справедливо следующее соотношение между объемным интегралом от дивергенции А и поверхностным интегралом от составляющей А по направлению внешней нормали к поверхности

По существу это соотношение может служить определением дивергенции (см., например, книгу Стрэттона [106]).

Рассмотрим интегральную форму теоремы Гаусса:

Теорема о дивергенции позволяет записать его в виде

для любого объема У. Отсюда следует, что подынтегральное выражение равно нулю, т. е.

Это и есть дифференциальная форма теоремы Гаусса в электростатике. Это уравнение может само по себе применяться для решения электростатических задач. Однако часто оказывается проще иметь

дело не с векторной, а со скалярной функцией точки, а векторные величины в случае необходимости определять уже в конце решения по этой скалярной функции. Эту скалярную функцию мы рассмотрим ниже.