§ 5. Второе уравнение электростатики и скалярный потенциал

Одного уравнения (1.13) недостаточно для того, чтобы полностью определить три составляющие электрического поля Читателю, должно быть, известно, что векторное поле определено полностью, если во всем пространстве заданы его дивергенция и ротор. Таким образом, нам необходимо еще уравнение, определяющее ротор вектора Е в каждой точке. Это уравнение имеет вид

Оно вытекает непосредственно из общего выражения (1.5) для закона Кулона

Векторный множитель в подынтегральном выражении, рассматриваемый как функция от равен взятому с обратным знаком градиенту от

Поскольку операция градиента относится к переменной , а не к переменной интегрирования ее можно вынести за знак интеграла. Таким образом, поле может быть записано в виде

Но ротор градиента любой скалярной функции равен нулю (rot grad = 0 при любому), так что из (1.15) сразу следует (1.14).

Заметим, что справедливость соотношения обусловлена центральным характером сил взаимодействия зарядов и тем, что эти силы зависят лишь от расстояния между зарядами, но не связана с законом обратных квадратов.

Соотношение (1.15) позволяет выразить с помощью операции градиента вектор электрического поля через скалярную функцию. Одной функцией пользоваться удобнее, чем тремя, поэтому введем скалярный потенциал определяемый соотношением

Тогда из (1.15) следует, что скалярный потенциал выражается через плотность распределения заряда следующим образом:

Здесь интегрирование производится по всему бесконечному пространству и величина Ф определяется с точностью до постоянной, которую можно добавить к правой части равенства (1.17).

Фиг. 1.3.

Для пояснения физического смысла скалярного потенциала рассмотрим работу, совершаемую при перемещении пробного заряда q из точки А в точку В при наличии электрического поля (фиг. 1.3). Сила, с которой электрическое поле действует на заряд, в любой точке равна

так что работа по перемещению заряда из А в В равна

Знак минус поставлен потому, что мы вычисляем работу, совершаемую при перемещении заряда против сил электрического поля. Согласно (1.16), эту работу можно записать в виде

так что величину можно считать равной потенциальной энергии пробного заряда в электростатическом поле.

Из (1.18) и (1.19) следует, что линейный интеграл от электрического поля, взятый между двумя точками, не зависит от пути интегрирования и равен взятой с обратным знаком разности потенциалов

между этими точками:

Это следует, конечно, и непосредственно из определения (1.16). Если интегрирование производится по замкнутому пути, то линейный интеграл равен нулю

что может быть непосредственно получено из закона Кулона. Согласно теореме Стокса, для векторного поля интеграл по замкнутому контуру С, ограничивающему незамкнутую поверхность S, равен

где — линейный элемент контура — единичный вектор нормали к поверхности S, а направление обхода контура С образует правовинтовую систему с направлением . По теореме Стокса можно из (1.21) вновь прийти к соотношению