§ 6. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Функции Бесселя

В цилиндрических координатах показанных на фиг. 3.6, уравнение Лапласа принимает вид

Для разделения переменных произведем подстановку

Путем обычных преобразований получаем три обыкновенных дифференциальных уравнения:

Первые два уравнения решаются элементарно:

Для того чтобы потенциал был однозначным, параметр разделения v должен быть целым. Параметр k, пока не наложены граничные условия в направлении , остается произвольным.

Фиг. 3.6.

Мы будем сначала предполагать k действительным.

Радиальное уравнение приводится к стандартной форме заменой переменных Оно принимает при этом вид

Это уравнение называется уравнением Бесселя, а его решения — функциями Бесселя порядка v. Представляя решение в виде

степенного ряда типа

находим, что

и

при Коэффициенты при всех нечетных степенях равны нулю. Итерация рекуррентной формулы дает

Постоянную обычно принимают равной При этом два решения уравнения записываются в виде

Эти решения называются функциями Бесселя первого рода порядка v и —v. Если v не целое число, то функции образуют пару линейно независимых решений дифференциального уравнения Бесселя второго порядка. Однако при целых v эти решения, как известно, линейно зависимы. Действительно, при как видно из представления функций Бесселя в виде ряда, имеет место соотношение

Поэтому при целых v нужно знать еще другое решение, линейно независимое от . Даже при нецелых v принято вместо пары функций рассматривать другую пару, а именно где -так называемая функция Неймана (функция Бесселя второго рода), определяемая соотношением

Для нецелых v, очевидно, функция линейно независима от . Можно показать, что в пределе, когда v стремится к целому значению, функция остается линейно независимой от

Представления функций в виде ряда можно найти в математических справочниках.

Функциями Бесселя третьего рода, или функциями Ханкеля, называются следующие линейные комбинации функций

Так же как и пара функций пара функций Ханкеля образует фундаментальную систему решений уравнения Бесселя.

Все эти функции удовлетворяют рекуррентным соотношениям

где — любая из цилиндрических функций порядка

В справедливости этих соотношений легко убедиться, исходя из представления решений в виде ряда (3.82).

Для удобства мы приведем здесь предельные представления бесселевых функций различного рода для малых и больших значений аргумента. Для простоты выпишем лишь первые члены разложения:

Здесь v считается действительным и неотрицательным.

Переход от области «малых» значений описываемых выражениями (3.89) и (3.90), к области больших значений, где справедливы асимптотические формулы, имеет место при

Из асимптотического разложения (3.91) видно, что каждая функция Бесселя имеет бесконечное количество корней Нас будут главным образом интересовать корни функции Бесселя

здесь через обозначен корень функции Ниже приводятся первые три корня для трех значений

Для больших n значения корней (по крайней мере до трех значащих цифр) можно находить по довольно точной асимптотической формуле

Значения корней приведены, например, втаблицах Янке и Эмде [54].

После того как мы нашли решение радиального уравнения, выразив его через функции Бесселя, естественно, возникает вопрос о том, в каком смысле можно считать функции Бесселя ортогональной полной системой. Будем рассматривать лишь функции Бесселя первого рода и покажем, что система функций с фиксированным представляет собой ортогональную систему на интервале Для доказательства рассмотрим дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция

Умножив его на и проинтегрировав от 0 до а, получим

Интегрируя по частям и учитывая, что произведение равно

нулю (для ) при получаем

Написав такое же выражение с заменой на и вычтя его из предыдущего, придем к соотношению ортогональности

С помощью рекуррентных соотношений (3.87) и (3.88) и дифференциального уравнения для функции Бесселя можно показать, что

Предполагая, что система функций Бесселя является полной, мы можем разложить произвольную функцию от q на интервале в ряд Фурье — Бесселя

где

При выводе соотношения (3.96) мы предполагали, что -Можно, однако, показать, что (3.96) справедливо для всех Разложение (3.96) и обычное разложение в ряд Фурье — Бесселя, особенно удобное для функций, обращающихся в нуль при , т. е. удовлетворяющих однородным условиям Дирихле на цилиндре (см. § 7). Следует, однако, заметить, что возможно также представление в виде ряда иного типа, а именно ряда по функциям где представляет собой корень уравнения Это связано с тем, что при доказательстве ортогональности системы функций требуется, собственно говоря, лишь обращение в нуль величины в конечных точках Это условие удовлетворяется как при

так и при , где . Разложение по функциям особенно удобно для функций, имеющих нулевую производную при задачу 3.8).

Ряд Фурье — Бесселя — лишь один из типов возможных разложений по функциям Бесселя. В качестве других примеров упомянем ряды Неймана Каптейна и Шлёмильха Детальное описание свойств этих рядов можно найти в книге Ватсона [114] (гл. 16—19). Ряды Каптейна встречаются при исследовании кеплеровского движения планет и излучения быстро движущихся зарядов (см. задачи 14.7 и 14.8).

В заключение рассмотрения свойств функций Бесселя следует заметить, что если бы при разделении переменных в уравнении Лапласа мы положили постоянную разделения в (3.73) равной то функция имела бы вид или а для мы получили бы уравнение

Подстановка дает

Решения этого уравнения называются модифицированными функциями Бесселя. Они, очевидно, представляют собой просто функции Бесселя от чисто мнимого аргумента. Обычно в качестве двух линейно независимых решений выбирают функции определяемые следующим образом:

    (3.100)

Эти функции действительны при действительных значениях аргументов. В пределе для малых и больших значений аргумента справедливы следующие представления (при действительном ): При

    (3.102)