§ 11. Разложение функций Грина по собственным функциям

Для функций Грина применяются также разложения другого типа — по собственным функциям соответствующей задачи. Такой подход тесно связан с методами, изложенными в § 8 и 10.

Чтобы определить, что мы понимаем под собственными функциями, рассмотрим эллиптическое дифференциальное уравнение вида

    (3.153)

Если потребовать, чтобы решение удовлетворяло некоторым граничным условиям на поверхности S интересующего нас объема F, то уравнение (3.153) будет, вообще говоря, иметь регулярные (т. е. конечные и непрерывные) решения лишь при некоторых определенных значениях X. Эти значения , обозначаемые через

называются собственными, или характеристическими, значениями задачи, а соответствующие им решения называются собственными функциями

Дифференциальное уравнение для собственных функций имеет вид

Тем же методом, как и при доказательстве ортогональности функций Лежандра или Бесселя, можно показать, что собственные функции ортогональны:

    (3.155)

(предполагается, что собственные функции нормированы). Спектр собственных значений может быть дискретным или непрерывным или же содержать как дискретную, так и непрерывную части. Мы будем предполагать, что совокупность всех собственных функций образует полную систему функций.

Найдем теперь функцию Грина для уравнения

    (3.156)

где вообще говоря, не совпадает с собственным значением уравнения (3.154). Предположим, что функция Грина должна удовлетворять тем же граничным условиям, что и собственные функции уравнения (3.154). Тогда функцию Грина можно представить в виде ряда по собственным функциям:

    (3.157)

Подстановка этого ряда в дифференциальное уравнение для функции Грина дает

    (3.158)

Если умножить обе части равенства на и проинтегрировать по объему У, то благодаря условию ортогональности (3.155) левая часть сведется к одному члену и мы получим

    (3.159)

Таким образом, разложение функции Грина имеет вид

    (3.160)

Для непрерывного спектра сумма заменяется интегралом.

Переходя теперь к частному случаю уравнения Пуассона, положим в (3.156). В качестве первого, по существу тривиального, примера примем, что (3.154) представляет собой волновое уравнение в неограниченном пространстве:

    (3.161)

с непрерывным спектром собственных значений и с собственными функциями вида

Эти собственные функции нормированы к -функции

    (3.163)

Согласно (3.160), функция Грина для бесконечного пространства представляется в виде

Мы получили просто представление функции в виде трехмерного интеграла Фурье.

В качестве второго примера рассмотрим функцию Грина для внутренней задачи Дирихле для прямоугольного параллелепипеда, ограниченного плоскостями Разложение мы будем производить по собственным функциям волнового уравнения

    (3.165)

Собственные функции, обращающиеся в нуль на всех границах области, имеют вид

    (3.166)

а собственные значения равны

    (3.166 а)

Согласно (3.160), функция Грина представляется разложением

Чтобы связать разложение (3.167) с полученными ранее в § 8 и 10, т. е. с разложением (3.125) для сферических координат и разложением (3.148) для цилиндрических координат, напишем аналогичное разложение для прямоугольного параллелепипеда. Если повторить рассуждения § 8 и 10, рассматривая координаты х и у подобно координатам ) или и выделяя особо координату z, то придем к функции Грина:

где

Чтобы выражения (3.167) и (3.168) совпадали, сумма по в (3.167) должна представлять собой разложение в ряд Фурье на интервале одномерной функции Грина от z, входящей в (3.168), т. е. должно выполняться соотношение

Предоставляем читателю в качестве упражнения провести доказательство справедливости этого фурье-разложения.

Дальнейшие примеры применения описанного метода приведены в задачах к настоящей главе.