ЗАДАЧИ

4.1. а) Вычислить мультипольные моменты распределений заряда, изображенных на фиг. 4.14, а — в, попытаться получить значения отличных от нуля моментов, справедливые для всех в каждом случае определить по крайней мере два первых отличных от нуля момента.

Фиг. 4.14.

б) Для распределения заряда, изображенного на фиг. 4.14, б, записать разложение потенциала по мультиполям. Удержав лишь низший член в разложении, начертить распределение потенциала в плоскости как функции расстояния от начала координат для расстояний, больших а.

в) Вычислить, исходя из закона Кулона, точное выражение для потенциала распределения, изображенного на фиг. 4.14, б, в плоскости Построить кривые зависимости потенциала от расстояния и сравнить их с приближенным результатом, полученным в п.

Чтобы более ясно представить себе характер решений, полученных в пп. на больших расстояниях, определить асимптотику решений.

4.2. Ядро с квадрупольным моментом Q находится в цилиндрически симметричном электрическом поле, которое в точке расположения ядра имеет градиент вдоль оси г.

а) Показать, что энергия квадрупольного взаимодействия определяется выражением

б) Пусть где h — постоянная Планка; вычислить в единицах где см — боровский радиус атома водорода.

в) Распределение заряда в ядре может быть аппроксимировано постоянной плотностью заряда в объеме сфероида с главной полуосью а и второй полуосью b. Вычислить квадрупольный момент такого ядра, считая его полный заряд равным Приняв, что для квадрупольный момент равен а средний радиус

определить относительную разность полуосей

4.3. Пусть плотность распределения заряда задается выражением

а) Провести разложение потенциала для данного распределения плотности по мультиполям и определить отличные от нуля мультипольные моменты. Записать потенциал на больших расстояниях в виде конечного разложения по полиномам Лежандра.

б) Найти явное выражение для потенциала в любой точке пространства и показать, что вблизи начала координат

в) Пусть в начале координат расположено ядро с квадрупольным моментом Найти величину энергии взаимодействия ядра с полем в предположении, что за единицу заряда в приведенном выше распределении принят заряд электрона, а за единицу длины — боровский радиус атома водорода см. Выразить результат в частотах, разделив его на постоянную Планка

Принятое в задаче распределение плотности заряда соответствует состояниям -уровня для водорода с а квадрупольное взаимодействие по порядку величины совпадает с найденным для молекул водорода.

4.4. Очень длинный прямой круглый полый диэлектрический цилиндр из вещества с диэлектрической проницаемостью , имеющий внутренний радиуса и внешний радиус , помещен в первоначально однородное электрическое поле причем ось цилиндра перпендикулярна полю. Диэлектрическая проницаемость среды вне и внутри цилиндра равна единице.

а) Определить потенциал и электрическое поле во всех трех областях, пренебрегая краевыми эффектами.

б) Нарисовать распределение силовых линий для случая b 2а.

в) Исследовать решения в предельных случаях, а именно для сплошного диэлектрического цилиндра в однородном поле и цилиндрической полости в однородном диэлектрике.

4.5. Точечный заряд q расположен в свободном пространстве на расстоянии d от центра диэлектрической сферы радиусом а ) с диэлектрической проницаемостью .

а) Найти распределение потенциала во всем пространстве в виде разложения по сферическим гармоникам.

б) Вычислить декартовы составляющие электрического поля вблизи центра сферы.

в) Проверить, что в пределе полученный результат совпадает с результатом для проводящей сферы.

4,6. Заряды на двух концентрических идеально проводящих сферических оболочках с внутренним и внешним радиусами а и b равны соответственно Пространство между сферами наполовину заполнено полусферическим слоем диэлектрика (с диэлектрической проницаемостью ), как изображено на фиг. 4.15.

Фиг. 4.15.

а) Найти распределение электрического поля между сферами.

б) Вычислить распределение поверхностного заряда на внутренней сфере.

в) Вычислить плотность связанных зарядов на поверхности диэлектрика

4.7. Ниже приводятся данные об изменении диэлектрической проницаемости в зависимости от давления, взятые из [99].

Проверить соотношение Клаузиуса — Моссотти между диэлектрической проницаемостью и плотностью для воздуха и пентана для приведенных в таблице значений переменных. Выполняется ли оно точно? Приближенно? Если соотношение выполняется лишь приближенно, рассмотреть относительное изменение плотности и Для пентана сравнить соотношение Клаузиуса — Моссотти с более грубым законом пропорциональности плотности. (Данные об относительной плотности воздуха как функции давления можно найти в справочниках; см., например, )

4.8. Водяные пары являются полярным газом, диэлектрическая проницаемость которого заметно зависит от температуры. Ниже приводится таблица, содержащая данные экспериментального исследования этого эффекта.

Считая водяные пары идеальным газом, вычислить зависимость поляризуемости молекул от температуры Т и начертить график этой зависимости, откладывая по оси абсцисс По наклону кривой определить величину постоянного дипольного момента молекулы (дипольный момент выразить в электростатических единицах).

4.9. Два длинных коаксиальных проводящих цилиндра с радиусами а и b опущены вертикально в жидкий диэлектрик. Пусть жидкость поднимается на высоту h между электродами при разности потенциалов между ними V. Показать, что диэлектрическая восприимчивость жидкости определяется формулой

где Q — плотность жидкости, g — ускорение силы тяжести, а диэлектрическая восприимчивость воздуха не учитывается.