§ 5. Метод виртуальных фотонов Вейцзеккера — Вильямса

При рассмотрении испускания тормозного излучения и других процессов, при которых имеет место электромагнитное взаимодействие релятивистских частиц, физическая интерпретация явлений значительно облегчается при применении так называемого метода виртуальных фотонов. В этом методе используется сходство поля движущейся заряженной частицы с импульсом электромагнитного поля (см. гл. 11, § 10) и устанавливается связь между эффектами, возникающими при соударениях релятивистской заряженной частицы с некоторой системой, и соответствующими эффектами, обусловленными взаимодействием излучения (виртуальных фотонов) с этой же системой. Метод был независимо разработан в 1934 г. Вейцзеккером и Вильямсом.

В любом процессе соударения имеются «налетающая частица» и «система, испытывающая удар» (рассеивающая система). Возмущающее действие полей налетающей частицы заменяется эквивалентным импульсом излучения, который можно представить в виде спектрального разложения по виртуальным фотонам. Затем вычисляется взаимодействие фотонов (рассеяние или поглощение) с рассеивающей системой. Таким образом устанавливается связь между взаимодействием заряженных частиц и взаимодействием фотонов. В приводимой ниже таблице указано, какой радиационный процесс соответствует тому или иному виду взаимодействия налетающей и рассеянной частиц.

Соответствие между взаимодействием частиц и радиационными процессами

Как видно из таблицы, рассеивающая система не всегда совпадает с лабораторной мишенью. При рассмотрении тормозного излучения рассеивающей системой следует считать более легкую из соударяющихся частиц, так как для нее мощность излучения больше. При тормозном излучении в электрон-электронных столкновениях,

как следует из симметрии задачи, необходимо брать сумму двух полей, поочередно считая каждый из электронов рассеивающей системой, покоящейся в начальный момент в некоторой системе координат.

Метод виртуальных фотонов основан на предположении о том, что эффекты, обусловленные различными спектральными компонентами эквивалентного излучения, складываются некогерентно. Это утверждение справедливо в том случае, когда возмущение, обусловленное полями, можно считать малым, и непосредственно связано с принятым в § 2 допущением о малом смещении рассеивающей частицы за время соударения.

Фиг. 15.6. Релятивистская заряженная частица, пролетающая вблизи от рассеивающей системы S, и эквивалентный импульс излучения.

Спектральное распределение электромагнитного поля, эквивалентного налетающей частице с зарядом q и скоростью с, проходящей на прицельном расстоянии b от рассеивающей системы S, можно найти из выражений для полей, приведенных в гл. 11, § 10:

При поля полностью эквивалентны волновому пакету линейно поляризованного излучения, падающему на систему S в. направлении как показано на фиг. 15.6. В выражения (15.49) не входит магнитное поле, которое образовало бы вместе с полем волновой пакет падающий в направлении Тем не менее если движение заряженной частицы вблизи системы S в выбранных координатах является нерелятивистским, то можно добавить требуемое магнитное поле и образовать импульс

При этом мы не изменим физической картины, так как частицы системы S реагируют лишь на электрическое поле. Даже в том случае, когда частицы системы S подвержены действию магнитных сил, добавочное магнитное поле, которое мы вводим, заменяя поле импульсом излучения все равно не имеет существенного значения, поскольку относительное влияние как будет показано, всегда мало.

Как следует из гл. 14, § 5, и в частности из соотношений (14.51), (14.52) и (14.60), спектральная плотность энергии эквивалентного импульса излучения (поток энергии через единичную площадку в единичном интервале частот) дается выражением

    (15.50)

где фурье-амплитуда (14.54) поля определяемого соотношением (15.49). Аналогично спектральное распределение для импульса излучения имеет вид

    (15.51)

Соответствующие интегралы Фурье были вычислены в гл. 13 [см. (13.29) и (13.30)]. Таким образом, спектральные распределения можно записать следующим образом:

Мы видим, что выражение для интенсивности импульса излучения содержит множитель таким образом, для ультрарелятивистских частиц влияние этого импульса мало. Качественно полученные спектральные распределения изображены на фиг. 15.7. Вид. кривых легко понять, вспомнив, что распределение электромагнитного поля для импульса излучения имеет колоколообразную форму с характерной шириной . Поэтому спектр излучения содержит все частоты вплоть до максимальной сомакс, которая имеет величину порядка . С другой стороны, поле импульса близко по форме к волне синусоиды с частотой Поэтому его спектр состоит из узкой области частот с центром вблизи

При исследовании соударений следует просуммировать спектральные распределения (15.52) по различным возможным значениям прицельных параметров. В результате получим величину энергии эквивалентного поля излучения, приходящегося на единичный интервал частоты. Как всегда в подобных задачах, необходимо определить минимальное значение прицельного параметра

Метод виртуальных фотонов дает хорошие результаты лишь в том случае, когда можно выбрать такое значение что для эффекты, обусловленные налетающей частицей, можно с достаточной точностью заменить эффектами, вызванными эквивалентным импульсом излучения, тогда как при малых b влияние полей частиц пренебрежимо мало или может быть учтено каким-либо другим способом. Предположим, что мы каким-то образом определили соответствующее значение

Фиг. 15.7. Частотные спектры двух эквивалентных импульсов излучения.

Тогда спектральное распределение интенсивности можно проинтегрировать по всем возможным прицельным параметрам:

    (15.53)

Здесь учтено влияние обоих импульсов излучения Это интегрирование уже было проведено в гл. 13, § 3 [см. (13.35)]. В результате получаем

    (15.54)

где

    (15.55)

На низких частотах энергия излучения в единичном интервале частот принимает вид

на высоких частотах интенсивность излучения экспоненциально спадает

    (15.57)

На фиг. 15.8 изображены зависимость по (15.54) для случая у с и кривая, соответствующая низкочастотному приближению (15.56).

Фиг. 15.8. Спектральное распределение виртуальных фотонов для релятивистской частицы. Энергия в единичном интервале частот отнесена к частота — Число виртуальных фотонов в единичном интервале энергии можно получить, разделив значение ординаты на .

Видно, что спектральное распределение интенсивности содержит главным образом низкочастотные фотоны и имеет хвост, простирающийся до частот порядка

Число виртуальных фотонов данной частоты, приходящихся на единичный интервал энергии, определяется соотношением

    (15.58)

Для предельного случая низких частот оно равно

Остановимся теперь на вопросе о выборе минимального прицельного параметра Для тормозного излучения, как отмечалось в где М — масса более легкой частицы. В задаче об ионизации атомов при соударениях Ьшин а, т. е. совпадает с радиусом атома; более близкие соударения следует рассматривать как соударения налетающей частицы со свободными электронами. В случае расщепления ядер электронами или рождения мезонов при взаимодействии ядер с электронами Ьмин или Ьмин — R (радиус ядра) в зависимости от того, какая из этих величин больше. Указанные величины Ьмин приведены в таблице на стр. 572.