§ 9. Единственность решения при граничных условиях Дирихле или Неймана

Представляет интерес вопрос о том, при каких граничных условиях внутри ограниченного объема существует единственное и физически разумное решение задачи Пуассона (или Лапласа). На основе данных физического опыта можно полагать, что задание потенциала на замкнутой поверхности единственным образом определяет распределение потенциалов (примером может служить система проводников, на которых поддерживаются различные потенциалы). Это так называемая задача Дирихле, или граничные условия Дирихле. Аналогично можно ожидать, что задание электрического поля (т. е. нормальной производной от потенциала) на граничной поверхности (что соответствует заданию распределения поверхностного заряда) также однозначно определяет решение. Такие граничные условия носят название граничных условий Неймана. Докажем теперь справедливость этих предположений с помощью первой формулы Грина (1.34).

Нам нужно доказать единственность решения уравнения Пуассона в объеме V при граничных условиях Дирихле или Неймана на поверхности S, ограничивающей этот объем. Предположим, наоборот, что существуют два решения удовлетворяющие одним и тем же граничным условиям, и положим

Тогда внутри или на границе S объема V соответственно для граничных условий Дирихле или Неймана. Полагая из первой формулы Грина (1.34) получаем

Учитывая свойства функции U, мы придем для обоих граничных условий к соотношению

откуда следует, что Таким образом, внутри объема V функция U постоянна. Для граничных условий Дирихле на границе S, так что внутри V всюду и решение единственно. Для граничных условий Неймана решение также единственно с точностью до несущественной аддитивной постоянной.

Из вида правой части соотношения (1.38) следует, что и смешанная граничная задача, когда на части граничной поверхности

задано условие Дирихле, а на остальной поверхности — условие Неймана, также имеет единственное решение.

Из сказанного следует, что уравнение Пуассона, вообще говоря, не имеет решения, принимающего заданные значения Ф и на ограничивающей поверхности (граничные условия Коши), так как уже условия Дирихле или Неймана, взятые в отдельности определяют единственным образом решение, и эти решения в общем

(см. скан)

случае не совпадают. Вопрос о том, определяют ли граничные условия Коши на незамкнутой поверхности единственным образом решение электростатической задачи, требует более детального рассмотрения, выходящего за рамки настоящей книги. Читатель может найти детальное изложение этих вопросов в работах Морса и Фешбаха [77] или Зоммерфельда [103]. Морс и Фешбах заменяют уравнение в частных производных соответствующим уравнением в конечных разностях, которое затем решают методом итерации. Зоммерфельд же главным образом пользуется методом характеристик. Результаты исследований достаточности различных граничных условий сведены в таблице на стр. 31 (основанной на таблице, приведенной в книге Морса и Фешбаха [77]); в нее включены различные типы дифференциальных уравнений в частных производных и различные виды граничных условий.

Из таблицы следует, что электростатические задачи имеют однозначное решение лишь при задании граничных условий Дирихле и Неймана на замкнутой поверхности (которая частично или вся целиком может, конечно, находиться в бесконечности).