§ 8. Разложение векторной плоской волны по сферическим волнам

При исследовании рассеяния или поглощения электромагнитного излучения сферическими телами или вообще ограниченной системой полезно иметь разложение плоской электромагнитной волны по сферическим волнам.

Для скалярного поля удовлетворяющего волновому уравнению, такое разложение можно получить, используя свойства ортогональности собственных сферических волновых функций . Можно также получить это разложение, исходя из разложения по сферическим волнам (16.22) функции Грина Пусть в обеих частях выражения (16.22). Тогда в левой части равенства можно приближенно считать где — единичный вектор в направлении

В правой части равенства Функции можно заменить их асимптотическими выражениями (16.13)

В результате получаем

Сокращая множители в обеих частях равенства и беря комплексно сопряженное выражение, получаем искомое разложение плоской волны

    (16.127)

где k — волновой вектор, имеющий в сферических координатах составляющие . Используя теорему сложения (3.62), можно представить это разложение в более компактной форме

    (16.128)

где у — угол между векторами и . Последнюю формулу можно, воспользовавшись соотношением (3.57) для функции переписать также в виде

    (16.129)

Получим теперь эквивалентное разложение для падающей вдоль оси z плоской волны с круговой поляризацией:

    (16.130)

Так как амплитуда плоской волны везде конечна, то ее разложение по мультиполям (16.47) содержит лишь конечные радиальные функции

    (16.131)

Для определения коэффициентов воспользуемся ортогональностью векторных сферических гармоник Для удобства выпишем условия ортогональности (16.46) и некоторые другие полезные соотношения, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем:

    (16.132)

В этих соотношениях — линейные комбинации сферических функций Бесселя, удовлетворяющих уравнению (16.5). Второе и третье соотношения могут быть доказаны с помощью операторного тождества (16.49), представления (16.37) и дифференциального уравнения (16.5) для радиальных функций.

Для определения коэффициентов умножим обе стороны равенств (16.131) скалярно на и проинтегрируем по углам. Используя при этом первые два соотношения (16.132), находим

    (16.133)

и

    (16.134)

Подставляя в (16.133) напряженность электрического поля в виде (16.130), получаем

    (16.135)

где операторы определяются формулами (16.26), а результат их применения — соотношениями (16.28). Таким образом,

    (16.136)

Подставляя разложение (16.129) для функции и используя свойство ортогональности функций окончательно находим

    (16.137)

Как следует из формул (16.134) и (16.130),

    (16.138)

В итоге приходим к следующему разложению плоской волны (16.130) по мультиполям:

    (16.139)

Для рассматриваемой волны с круговой поляризацией значения, можно, очевидно, интерпретировать как приходящуюся на один фотон составляющую момента количества движения в направлении распространения волны. Это обстоятельство уже было ранее установлено в задаче 6.12.