§ 7. Задача с начальными условиями. Интегральное представление Кирхгофа

Решение (6.66) является частным интегралом неоднородного волнового уравнения (6.54). Для того чтобы удовлетворить граничным условиям, к нему можно добавить произвольное решение однородного волнового уравнения. Согласно таблице, приведенной в гл. 1 (см. стр. 31), соответствующие граничные условия являются граничными условиями Коши (задаются ) на «открытой поверхности». Для трехмерного волнового уравнения открытой поверхностью является трехмерный объем, определяемый одной функциональной зависимостью между четырьмя координатами . Обычно такой открытой поверхностью является обыкновенное трехмерное пространство в фиксированный момент времени При этом мы приходим к задаче с начальными условиями: заданы для всех и нужно найти для всех моментов времени

Для анализа задачи с начальными условиями и для получения интегрального представления Кирхгофа для замкнутой граничной

поверхности воспользуемся теоремой Грина (1.35) и проинтегрируем это соотношение по времени от до

Положим . С учетом волновых уравнений (6.54) и (6.55) левая часть, которую мы обозначим через , принимает вид

Первый член в (6.68) дает второй представляет собой частное решение (6.66). После интегрирования по частям по мени оставшихся двух членов получим

Так как при то при подстановке верхнего предела получаем нуль. Комбинируя (6.69) и (6.67), приходим к интеграль ному представлению для внутри объема V, ограниченного поверхностью S, для моментов времени

Мы написали первый член в (6.70) в обычной форме (6.66), воспользовавшись явным выражением (6.64) для функции G. Далее мы преобразуем так же и остальные члены.

Рассмотрим сначала для простоты задачу с начальными условиями для бесконечной области, считая заданными функциями координат при

При этом поверхностный интеграл в (6.70) можно опустить. Для упрощения обозначений примем точку наблюдения за начало

координат и введем сферические координаты. Тогда

Производную от -функции можно записать в виде

С учетом свойств -функции, приведенных в гл. 1, § 2, выражение (6.72) можно представить в виде

Полученное выражение называется решением Пуассона задачи с начальными условиями. В отсутствие источников поле в начале координат в момент t зависит только от величины начальных полей в точках на расстоянии от начала координат.

Задачи с начальными условиями для волнового уравнения подробно исследованы для случая одного, двух, трех и большего числа измерений. Мы отсылаем читателя к книге Морса и Фешбаха [77] или к книге Адамара [47], где изложение является более математическим.

Теперь получим из (6.70) так называемое интегральное представление Кирхгофа для поля внутри объема V через значение и ее производных на граничной поверхности S. Предположим теперь, что внутри V нет источников и начальные значения равны нулю [вместо этого мы могли бы предположить, что начальный момент времени отодвинут столь далеко в прошлое, что решение (6.73), соответствующее начальным значениям, уже не сказывается на поле внутри объема V]. Тогда поле внутри V определится выражением

Учитывая (6.64), мы можем вычислить

Член с производной от -функции можно проинтегрировать по времени V по частям. В результате интегральное представление Кирхгофа запишется в виде

где единичный вектор нормали к поверхности S. Подчеркнем, что (6.76) не является решением, а дает только интегральное представление поля через его значение и значение его производных по координатам и по времени на поверхности S. Последние не могут быть выбраны произвольно и определяются только путем решения соответствующей граничной задачи Коши.

Интеграл Кирхгофа (6.76) является математическим выражением принципа Гюйгенса и служит исходным пунктом при рассмотрении задач дифракции. Подробно дифракция будет рассмотрена в гл. 9, § 5 и далее.