§ 6. Магнитное поле ограниченного распределения токов. Магнитный момент

Рассмотрим свойства произвольного распределения тока, локализованного в малой области пространства; при этом «малость» определяется сравнением с некоторой характерной длиной, интересующей наблюдателя.

Фиг. 5.6. К расчету магнитного поля в точке Р с координатой создаваемого ограниченным распределением тока

Адекватный анализ этой задачи, аналогичный разложению электростатического поля по мультиполям, требует применения векторных сферических гармоник. Соответствующее рассмотрение будет проведено в гл. 16 в связи с исследованием мультипольного излучения. Здесь же мы ограничимся лишь получением приближения низшего порядка. Разложим множитель в выражении (5.32) по степеням радиуса-вектора отсчитываемого от начала координат, выбранного в области распределения токов (фиг. 5.6):

В результате для декартовых составляющих векторного потенциала получаются разложения

Для ограниченного стационарного распределения тока интеграл от J по объему равен нулю, так как Следовательно, первый член разложения, соответствующий полному заряду в электростатике, обращается в нуль.

Подынтегральное выражение во втором слагаемом можно, используя формулу для тройного векторного произведения, представить в более удобной форме:

Можно показать, что интеграл по объему от первого слагаемого в правой части (5.52) равен взятому с обратным знаком интегралу от левой части. Действительно, рассмотрим интеграл

При переходе от первого интеграла ко второму учтено равенство последующие выражения получены интегрированием по частям. Таким образом, учитывая (5.53), можно представить интеграл от (5.52) в виде

Определим магнитный момент распределения тока J выражением

Иногда удобно интерпретировать подынтегральное выражение в (5.55) как плотность магнитного момента, или намагниченность. Обозначим намагниченность, обусловленную распределением тока J, через

Векторный потенциал (5.51) может быть выражен через магнитный момент :

Это — наинизший отличный от нуля член разложения векторного потенциала А для ограниченного стационарного распределения тока. Вектор магнитной индукции В может быть найден непосредственно вычислением ротора от (5.57):

где n — единичный вектор в направлении . Поскольку формулы (5.57) и (5.58) справедливы лишь вне распределения токов, член с -функцией можно опустить. Выражение для магнитной индукции (5.58) в точности совпадает с формулой (4.13) для поля электрического диполя. Полученное выражение является обобщением найденного в предыдущем параграфе выражения для поля кругового витка тока. Вдали от любого ограниченного распределения тока вектор магнитной индукции совпадает с магнитной индукцией диполя с магнитным моментом (5.55).

Фиг. 5.7.

Если ток течет по плоскому витку произвольной формы, то магнитный момент можно представить в весьма простом виде. Для тока текущего по замкнутому контуру с элементом длины выражение (5.55) принимает вид

    (5.59)

Для плоского витка (фиг. 5.7) магнитный момент нормален плоскости контура. Поскольку , где — площадь элементарного треугольника, образованного радиусами-векторами» проведенными из начала отсчета к обоим концам элемента длины , то интеграл (5.59) вдоль контура равен полной площади, ограниченной контуром. В результате величина магнитного момента оказывается равной

независимо от формы контура.

Если ток обусловлен движением системы заряженных частиц с зарядами и массами со скоростями v, то магнитный момент

может быть выражен через момент количества движения частиц. Плотность тока равна

где — радиус-вектор частицы. Магнитный момент (5.55) оказывается в этом случае равным

Векторное произведение пропорционально моменту количества движения частицы Таким образом, выражение (5.62) принимает вид

Если отношение заряда частицы к ее массе одинаково для всех движущихся частиц то магнитный момент системы может быть выражен через полный момент количества движения

Мы получили известное классическое соотношение, связывающее момент количества движения и магнитный момент, справедливое для орбитального движения даже в атомных масштабах. Однако это классическое соотношение перестает выполняться для собственного момента электронов и других элементарных частиц. Для электронов собственный магнитный момент несколько превышает удвоенное значение величины, определяемой соотношением (5.64), с заменой L на спиновый момент количества движения S. Мы говорим, что для электрона -фактор равен Отличие магнитного момента электрона от его классического значения обусловлено релятивистскими и квантовомеханическими эффектами, которые мы здесь рассматривать не можем.