§ 2. Напряженность электрического поля

Хотя непосредственно измеряемой величиной является сила, целесообразно ввести понятие, несколько отличающееся от силы, а именно понятие о напряженности электрического поля, обусловленного совокупностью заряженных тел. Мы можем пока определить электрическое поле, или, точнее, напряженность электрического поля, как силу, действующую на единицу заряда, помещенного в данной точке пространства. Она является вектором, зависящем от координат, и обозначается через Е. Однако применять это определение следует с осторожностью. Напряженность электрического поля не всегда совпадает с силой, которая действует на шарик, заряженный единичным зарядом и внесенный в исследуемую точку пространства. Дело в том, что единичный заряд (скажем, заряд, получающийся после того, как сто раз провести кошачьей шкуркой по янтарной палочке) может оказаться столь большим, что он заметно изменит конфигурацию поля. Поэтому следует рассматривать предельный процесс, т. е. измерять отношение силы, действующей на малый пробный заряд, к величине заряда при все меньшей и меньшей величине заряда. При достаточно малой величине заряда величина этого отношения и направление силы становятся практически постоянными. Эти предельные значения величины отношения и его направления и определяют величину и направление напряженности электрического поля в рассматриваемой точке. Математически это соотношение запишется в виде

где F — сила, Е — напряженность электрического поля, q — заряд. В этом соотношении предполагается, что заряд q точечный, а сила и напряженность электрического поля вычисляются для точки, в которой расположен заряд.

Аналогично можно записать и закон Кулона. Если обозначить через F силу, с которой на точечный заряд расположенный в точке действует другой точечный заряд расположенный в то закон Кулона запишется следующим образом:

Заметим, что — алгебраические величины и могут быть как положительными, так и отрицательными. Множитель пропорциональности k зависит от используемой системы единиц.

Электрическое поле в точке создаваемое точечным зарядом расположенным в точке (фиг. 1.1), равно

Постоянная k определяется выбранной единицей заряда. В электростатической системе единиц (СГСЭ) за единицу заряда принят заряд, который действует на равный ему заряд, находящийся на стоянии 1 см, с силой 1 дин. Таким образом, в системе СГСЭ коэффициент k равен единице.

Фиг. 1.1.

В рационализированной системе МКСА коэффициент k равен где проницаемость свободного пространства. Мы будем пользоваться системой единиц СГСЭ

Экспериментально установлено, что для сил, обусловленных различными зарядами, выполняется условие линейной суперпозиции; благодаря этому поле в точке создаваемое системой точечных зарядов расположенных в точках , можно записать как векторную сумму

Если зарядов очень много и они весьма малы, то их можно описывать объемной плотностью заряда при этом заряд элементарного объема в точке . В этом случае сумма (1.4) переходит в интеграл

где — трехмерный элемент объема в точке

Сейчас уместно ввести дельта-функцию Дирака. Одномерная дельта-функция, обозначаемая представляет собой несобственную функцию 2), обладающую следующими свойствами:

Дельта-функции можно дать строгую интерпретацию, а именно рассматривать ее как предел, к которому стремится пикообразная кривая типа гауссовой, когда ее ширина уменьшается, а высота увеличивается, причем площадь, ограниченная кривой, остается постоянной. Строгое и всестороннее математическое рассмотрение -функций и действий с ними дано в теории распределений Шварца.

Из приведенного определения следует, что для любой функции

Здесь штрих означает производную по аргументу функции.

Дельта-функция, аргументом которой служит функция f(x) от независимой переменной может быть преобразована по правилу

где — значение для которого . Это соотношение вытекает из равенства

В случае нескольких измерений нужно просто взять произведение -функций от каждой координаты. Так, например, в трехмерном случае -функция равна

Она равна нулю всюду, кроме точки и обладает тем свойством, что

Заметим, что размерность -функции обратна размерности объема при любом числе измерений.

С помощью -функций дискретную совокупность точечных зарядов можно описать распределением плотности заряда.

Так, например, распределение

соответствует точечным зарядам расположенным в точках Подставляя распределение плотности заряда (1.6) в (1.5) и интегрируя с учетом свойств -функций, мы придем к выражению (1.4).