§ 2. Закон Био и Савара

В 1819 г. Эрстед обнаружил, что провод, по которому течет электрический ток, вызывает отклонение постоянного магнитного диполя, помещенного вблизи него. Таким образом, токи являются источниками магнитной индукции. Впервые Био и Савар (1820 г.), а затем в гораздо более тщательных и совершенных опытах Ампер (1820-1825 гг.) установили основные экспериментальные законы, связывающие магнитную индукцию В с токами, и нашли закон определяющий силу взаимодействия между токами.

Фиг. 5.1. Магнитная индукция обусловленная элементарным током

Основное соотношение, хотя и не совсем в том виде, в котором оно было выведено-Ампером, можно сформулировать следующим образом. Пусть — элемент длины (ориентированный вдоль тока) бесконечно тонкого провода, несущего ток — радиус-вектор, проведенный от этого элемента длины в точку наблюдения как показана на фиг. 5.1; тогда величина и направление магнитной индукции создаваемой элементом в точке определяется соотношением

Следует заметить, что, так же как и закон Кулона в электростатике, соотношение (5.4) характеризуется обратной пропорциональностью силы квадрату расстояния. Однако векторный характер законов совершенно различен.

Если поле создается не током, а одиночным зарядом q, движущимся со скоростью v, то магнитная индукция будет равна

где Е — электростатическое поле заряда q. В этом случае магнитная индукция оказывается зависящей от времени. В настоящей главе мы далее ограничимся рассмотрением лишь стационарных токов.

Постоянная k в формулах (5.4) и (5.5) зависит от выбора системы единиц; этот вопрос подробно рассмотрен в приложении. При измерении тока в электростатических единицах, а магнитной индукции в электромагнитных единицах постоянная оказывается равной , где с, как было экспериментально установлено, совпадает со скоростью света в вакууме . Такая система единиц называется гауссовой.

Фиг. 5.2.

Введение скорости света в уравнения на данной стадии рассмотрения представляется довольно искусственным, однако имеет то преимущество, что единицы заряда и тока согласованы, благодаря чему уравнение непрерывности (5.2) записывается в простом виде, без коэффициента с. Далее мы будем пользоваться исключительно гауссовой системой единиц.

Предполагая, что справедлив принцип линейной суперпозиции полей, можно записать основной закон (5.4) в интегральном виде и найти магнитную индукцию для различных конфигураций токонесущих проводов. Например, вектор магнитной индукции В длинного прямого провода (фиг. 5.2), по которому течет ток как легко видеть, направлен нормально плоскости, содержащей провод и точку наблюдения. Таким образом, силовые линии магнитной индукции представляют собой концентрические окружности, описанные вокруг провода. Величина вектора В определяется формулой

где R — расстояние от точки наблюдения до провода. Этот результат, впервые экспериментально найденный Био и Саваром, известен как закон Био и Савара. Заметим, что зависимость величины магнитной индукции В от R имеет тот же вид, как и зависимость

напряженности электрического поля протяженного линейного заряда с однородной линейной плотностью. Эта аналогия показывает, что в некоторых отношениях можно установить соответствие между электростатическими и магнитостатическими задачами несмотря на различный векторный характер полей. В последующих параграфах мы еще больше убедимся в этом. Эксперименты Ампера не ставили целью непосредственное установление связи между токами и магнитной индукцией, а касались скорее исследования силы, действующей на токонесущий провод в присутствии другого тока.

Фиг. 5.3. К взаимодействию двух витков тока.

Но поскольку мы уже ввели понятие поля магнитной индукции, создаваемого элементом тока, закон сил можно выразить, определив силу, действующую на элемент тока поле магнитной индукции В. Элементарная сила оказывается равной

где — ток в элементе (измеряемый в электростатических единицах), В — магнитная индукция (в электромагнитных единицах), а с — скорость света. Если внешнее поле В создается замкнутым контуром тока (витком) 2 с током то полная сила, испытываемая витком 1 с током согласно (5.4) и (5.7), выражается формулой

Линейные интегралы берутся здесь вдоль контуров токов; — радиус-вектор, проведенный от элемента длины как показано на фиг. 5.3. Приведенное соотношение является математической формулировкой результатов опытов Ампера по исследованию сил взаимодействия замкнутых витков тока. Преобразуя в (5.8) подынтегральное выражение, можно привести интеграл к виду, симметричному относительно откуда явно следует

выполнение третьего закона Ньютона:

Второе слагаемое содержит полный дифференциал в интеграле по Следовательно, оно не дает вклада в интеграл (5.8), если путь интегрирования замкнут или уходит на бесконечность. В результате формула Ампера для силы взаимодействия между витками тока принимает вид

Здесь очевидна симметрия относительно переменных интегрирования, а также требуемая векторная зависимость от радиуса-вектора

На единицу длины каждого из двух находящихся на расстоянии d длинных параллельных прямых проводников с токами действует сила, направленная по нормали ко второму проводу и равная по величине

Это — сила притяжения, если токи текут в одинаковых направлениях, и сила отталкивания при противоположных направлениях токов. Исходя из силы взаимодействия проводников с током, можно определить величину магнитной индукции, не используя представления о постоянных магнитных диполях 2). Ниже мы увидим, что выражения для вращающего момента (5.1) и для силы (5.7) тесно связаны между собой.

Если ток с плотностью находится во внешнем магнитном поле с индукцией то полная сила, действующая на ток, в соответствии с выражением (5.7) для элементарной силы оказывается равной

Совершенно аналогично для полного вращающего момента имеем

В § 6 эти общие результаты будут применены к ограниченным распределениям тока.