§ 4. Влияние экранирования. Потери на излучение в релятивистском случае

До сих пор при рассмотрении тормозного излучения мы пренебрегали ролью атомных электронов. Их непосредственное влияние на ускорение налетающей частицы вполне можно не учитывать, так как величина соответствующего эффекта в Z раз меньше эффекта, обусловленного ядром. Однако электроны оказывают косвенное влияние, экранируя заряд ядра. Потенциальная энергия налетающей частицы в поле атома может быть приближенно описана выражением (13.94). Это означает, что при таких соударениях, когда прицельный параметр превышает радиус атома (13.95), излучение незначительно. Можно приближенно учесть этот эффект в предшествовавших вычислениях, определив максимальный прицельный параметр с учетом экранирования атомными электронами

    (15.37)

При этом в аргументе логарифма следует использовать меньшую из величин определяемых по формулам (15.28) и (15.37). Найдем отношение этих величин:

    (15.38)

где — масса электрона и использовано среднее значение частоты Отсюда видно, что для достаточно низких частот величина Ьмакс всегда меньше значения найденного с помощью соотношения (15.28). Отношение предельного значения частоты соэкр, ниже которого следует использовать параметр Ьмакс» к граничной частоте спектра сомакс равно

где верхнее значение соответствует нерелятивистской частице, а нижнее — релятивистской. При аргумент логарифма в выражении (15.32) для сечения излучения перестает зависеть от частоты

Поэтому сечение тормозного излучения стремится к постоянной-величине

при . Благодаря этому на низких частотах энергия, излучаемая в единичном интервале, остается конечной, а не расходйтся логарифмически. Совершенно аналогично при учете экранирования ликвидируется расходимость сечения рассеяния вида имеющая место для чисто кулоновского поля [см. (13.96)] при рассеянии на малые углы.

За исключением случая предельно низких скоростей, частота экранирования соэкр очень мала по сравнению с нерелятивистским значением сомакс. Так, для электронов с кинетической энергией падающих на мишень из золота . Для более тяжелых нерелятивистских частиц отношение еще меньше. Это означает, что в нерелятивистском случае изображенные на фиг. 15.3 спектральные зависимости изменятся лишь на очень малых частотах.

Для ультрарелятивистских частиц экранирование может быть «полным». Полное экранирование возникает при соэкр сомакс. Это имеет место при энергии, превышающей некоторое критическое значение

Для электронов Яэкр в алюминии в свинце Соответствующие величины для -мезонов составляют 2-106 и Из-за наличия множителя влияние экранирования существенно лишь для электронов. При Еэкр сечение тормозного излучения на всех частотах имеет постоянную величину (15.41). На фиг. 15.5 изображены кривая сечения тормозного излучения (15.41) в предельном случае полного экранирования и соответствующая кривая по теории Бете — Гайтлера. Квантовомеханическое рассмотрение, проведенное этими авторами, приводит к дополнительному коэффициенту, медленно меняющемуся от 1 при до 0,75 при сомакс. Тормозное излучение электронной компоненты космических лучей и электронов на выходе ускорителей на большие энергии соответствует предельному случаю полного экранирования. Поэтому в этих случаях спектральное распределение фотонов описывается типичной зависимостью

В § 2 были рассмотрены потери на излучение в нерелятивистском случае и показано, что они пренебрежимо малы по сравнению с потерями энергии при соударениях. Для ультрарелятивистских

частиц и особенно электронов этот вывод уже не верен. В предельном случае потери на излучение определяются приближенной формулой

где вид аргумента логарифма зависит от того, какая из величин больше. При слабом экранировании получаем приближенное выражение

    (15.44)

Для более высоких энергий, когда имеет место полное экранирование, полученное выражение заменяется формулой

откуда видно, что при достаточно больших энергиях потери на излучение становятся пропорциональными энергии частиц.

Фиг. 15.5. Сечение тормозного излучения в предельном случае полного экранирования. Постоянное значение сечения соответствует полуклассическому результату; пунктирная кривая соответствует квантовомеханическому расчету в борновском приближении.

Сравнение потерь на излучение с потерями при соударениях в последнем случае дает

Значение у, для которого это отношение равно единице, зависит от вида частиц и величины Z. Для электронов для воздуха и для свинца. При более высоких энергиях потери на тормозное излучение превышают потери за счет соударений, а для ультрарелятивистских частиц они представляют собой основной вид потерь.

При энергиях, для которых тормозное излучение является доминирующим, применима формула (15.45), соответствующая случаю полного экранирования. Здесь удобно ввести характерную единицу пути называемую радиационной длиной и равную расстоянию, при прохождении которого энергия частицы убывает в раз. Согласно закону сохранения энергии, можно переписать (15.45) в виде

откуда следует, что

    (15.47)

где радиационная длина

Для электронов, например, величина равна в воздухе при нормальных значениях температуры и давления; 19 г/см2 (7,2 см) в алюминии и 4,4 г/см2 (0,39 см) в свинце При рассмотрении прохождения космических лучей или искусственно ускоренных частиц больших энергий через вещество удобно использовать понятие радиационной длины так как ею определяются не только потери энергии, но и образование электрон-позитронных пар излученными фотонами и тем самым все развитие каскадных электронных ливней.