§ 11. Ковариантность выражения для силы Лоренца и законов сохранения

В § 9 мы рассматривали ковариантность законов электродина мики для плотности зарядов и токов и создаваемых ими полей и потенциалов. Мы знаем, что заряды и токи в конечном счете обусловлены заряженными частицами, движущимися под действием полей. Следовательно, для завершения нашего анализа необходимо рассмотреть ковариантную формулировку для силы Лоренца и законов сохранения количества движения и энергии.

Силу Лоренца, действующую на единицу объема (и равную скорости изменения количества движения в единице объема), можно записать в виде

    (11.126)

здесь J и q — плотности тока и заряда. Выписывая явно первую составляющую f, получаем

где использованы обозначения (11.98) и (11.108). Другие составляющие f записываются аналогично, так что (11.126) можно представить в виде

    (11.128)

Правые части (11.128) представляют собой пространственные составляющие -вектора. Следовательно, сила f должна быть пространственной частью -вектора , где

    (11.129)

Чтобы понять смысл четвертой составляющей -вектора плотности силы, выпишем ее явно:

    (11.130)

Но — это работа, совершаемая полем над зарядами в единичном объеме в единицу времени, т. е. скорость изменения механической энергии частиц в единице объема. Таким образом, мы видим, что в записанном в ковариантной форме выражении (11.129) для силы Лоренца пространственная часть определяет скорость изменения количества движения единицы объема, а временная часть — скорость изменения механической энергии единицы объема. Иными словами, составляющие силы Лоренца определяют пространственные и временные производные некоторой величины с размерностью плотности энергии.

Законы сохранения полной энергии (механической и электромагнитной) и полного количества движения, полученные в гл. 6, можйо представить в ковариантной форме в виде уравнений для пространственной и временной Частей единого -вектора. Исключая с помощью неоднородных уравнений Максвелла (11.110) составляющие из уравнения (11.129), получаем выражение для плотности силы в виде

Правую часть соотношения (11.131) можно записать в виде дивергенции тензора второго ранга. Введем симметричный тензор

называемый электромагнитным тензором энергии-импульса:

    (11.132)

Доказательство того, что выражение (11.131) при учете однородных уравнений Максвелла можно представить в форме

    (11-133)

отнесено к задачам (задача 11.12). Компоненты тензора Т можно явно выразить через поля, используя (11.132):

Здесь симметричный тензор максвелловских натяжений, определенный на стр. 221, g — плотность импульса электромагнитного поля

Из определения (6.102) пространственной части тензора [или из (11.132)] следует, что сумма диагональных элементов тензора энергии-импульса (след тензора) равна нулю:

Законы сохранения импульса и энергии являются просто трехмерными интегралами уравнения для силы (11.133). Чтобы убедиться в этом, выпишем пространственные составляющие

Если приравнять пространственный интеграл от скорости изменения составляющей импульса то, интегрируя (11.137), получаем

    (11.138)

где через G обозначен полный импульс электромагнитного поля. Этот закон сохранения количества движения был получен

в гл. 6. Аналогично четвертую составляющую уравнения (11.133) можно записать в виде

    (11.139)

Приравнивая интеграл по объему от скорости изменения полной механической энергии Г, получаем закон сохранения энергии

    (11.140)

где U — полная электромагнитная энергия в объеме V.